Kochova křivka
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Kochova křivka je matematická křivka, jedna z prvních popsaných fraktálních křivek. Známější je jako součást Kochovy vločky, vytvořené ze tří spojených Kochových křivek. Křivka je pojmenována po švédském matematikovi Helge von Kochovi, který ji popsal ve své práci Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire z roku 1904.
[editovat] Tvorba Kochovy křivky
Kochova křivka vznikne nekonečným opakováním jednoduchého postupu. Na začátku je prostá úsečka (v případě Kochovy vločky rovnostranný trojúhelník tvořený třemi takovými úsečkami). V každém kroku se pak provede následující:
- Úsečka se rozdělí na třetiny.
- Nad prostřední třetinou se sestrojí rovnostranný trojúhelník.
- Základna trojúhelníka (bývalá prostřední třetina úsečky) se odstraní.
Tím se z původní úsečky stane křivka složená ze čtyř úseček (resp. z trojúhelníka se stane šesticípá hvězda) a postup se rekurzivně opakuje s každou takto vzniklou úsečkou.
Kochova křivka vznikne jako limita při opakování tohoto postupu do nekonečna. Její délka je nekonečná, neboť se v každém kroku prodlouží vždy o třetinu – ze tří částí úsečky vzniknou čtyři stejně dlouhé. Z toho vyplývá, že v kroku n bude délka křivky (4/3)n délky původní úsečky, Hausdorffova dimenze Kochovy křivky je tudíž log 4/log 3 ≅ 1,26 (tj. křivka zaplňuje prostor více než pouhá přímka s dimenzí 1, ale nezaplňuje ho úplně jako například Peanova křivka s dimenzí 2).
Kochova křivka je spojitá, ale v žádném bodě nemá tečnu. Kochovu křivku lze také definovat jako systém iterovaných funkcí (IFS).
[editovat] Modifikované verze
Jak už bylo řečeno, Kochova vločka (někdy též Kochův ostrov) vzniká tím, že se na počátku pracuje s rovnostranným trojúhelníkem místo jediné úsečky, výsledkem je tedy plošný fraktální útvar. Obsah takového útvaru je (na rozdíl od jeho obvodu) konečný: V každém kroku se sice plocha zvětšuje, ale přidávané trojúhelníky jsou čím dál menší a výsledkem je konvergentní geometrická řada. Obsah Kochovy vločky je roven 8/5 obsahu původního trojúhelníka. U Kochovy vločky tedy nekonečně dlouhá křivka ohraničuje konečnou plochu.
Mírnou modifikací pravidel je možno vytvořit mnoho podobných křivek, např. použitím čtverců místo trojúhelníků či Kochova antivločka, u které trojúhelníky směřují dovnitř původního trojúhelníka a obsah fraktálu tak zmenšují. Eric Haines také vytvořil trojrozměrnou verzi Kochovy vločky.
[editovat] Externí odkazy
- Kochova vločka v encyklopedii MathWorld (anglicky)
- Root.cz, Implementace L-systémů založená na želví grafice: http://www.root.cz/clanky/implementace-l-systemu-zalozena-na-zelvi-grafice/
