צורת ז'ורדן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

צורת ז'ורדן היא צורה קנונית של מטריצה $A$ , המייצגת טרנספורמציה לינארית $T:V \to V$ , והיא קיימת לכל מטריצה שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים מעל השדה.

צורת ז'ורדן, הנקראת גם מטריצת ז'ורדן על שמו של המתמטיקאי הצרפתי קמי ז'ורדן (Camille Jordan), הינה הכללת המקרה של מטריצה אלכסונית. צורת ז'ורדן היא מטריצה הכוללת את הערכים העצמיים על האלכסון ומעליהם אחדות או אפסים.

באופן מדויק יותר ניתן להגדיר את צורת ז'ורדן על ידי מטריצת בלוקים אלכסונית של בלוקי ז'ורדן.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית באמצעות בלוקי ז'ורדן
2 תכונותיה של צורת ז'ורדן
3 מציאת צורת ז'ורדן
- 3.1 מציאת צורת ז'ורדן באמצעות דרגת המטריצה
- 3.2 מציאת צורת ז'ורדן באמצעות בסיס לייצוג הטרנספורמציה
4 מציאת בסיס מז'רדן
5 לקריאה נוספת

[עריכה] הגדרה פורמלית באמצעות בלוקי ז'ורדן

בלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר $\ k$ הינו מטריצה נילפוטנטית מסדר $\ k$ המכילה רק אחדות על האלכסון שמעל האלכסון הראשי, וכל שאר איבריה הם אפסים. נהוג לסמן בלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר $\ k$ על ידי: $\ J _k$ (ולפעמים על ידי $\ N _k$ ).

בלוק ז'ורדן מסדר $\ k$ , המתאים לערך עצמי $\ \lambda$ , מוגדר על ידי סכום של מטריצה סקלרית ושל בלוק ז'ורדן נילפוטנטי מהסדר המתאים. נהוג לסמן בלוק ז'ורדן המתאים לערך עצמי $\ \lambda$ מסדר $\ k$ על ידי: $\ J_k ( \lambda ) = \lambda I + J_k$ .

מטריצת ז'ורדן היא מטריצת בלוקים אלכסונית המורכבת מבלוקי ז'ורדן.

לדוגמה: בלוק ז'ורדן מסדר 4 המתאים לערך העצמי 5,

$\ J_4(5)=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

[עריכה] תכונותיה של צורת ז'ורדן

צורת ז'ורדן נקבעת ביחידות (עד כדי סדר הבלוקים על האלכסון) על ידי הטרנספורמציה, ולכן לשתי מטריצות דומות אותה צורת ז'ורדן. מכך יש להסיק ששתי מטריצות דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן.

בשל יחידותה של צורת ז'ורדן, ובשל תכונותיה של צורת הז'ורדן של מטריצה, ניתן להסיק ממנה בנקל נתונים שונים על הטרנספורמציה או המטריצה שאותה היא מייצגת.

בין תכונות אלה ניתן למנות:

א.: מספר הבלוקים המתאימים לערך עצמי $\lambda\$ יהיה הריבוי הגאומטרי של $λ$ . כלומר: $dimKer ( T - \lambda\ I )$

ב.: החזקה (או הריבוי האלגברי) של כל שורש של הפולינום המינימלי (שהוא בהכרח גם שורש של הפולינום האופייני, כלומר ערך עצמי של המטריצה, על פי משפט קיילי-המילטון), היא כגודל הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן של המטריצה המתאים ל- $λ$ .

ג.: מספר הפעמים שבהן מופיע כל ע"ע $\lambda\$ על האלכסון הוא ממדו של המרחב העצמי המוכלל המתאים ל- $\lambda\$ . מרחב עצמי מוכלל מוגדר על ידי: $V_{\lambda}=\{\vec{v} \in V | (T-\lambda I)^{m_i} \vec{v}=0\}$ . למעשה $d i m V λ = m i$ , כאשר $m i$ הוא הריבוי הגאומטרי של $λ$ .

ד.: מספר הבלוקים מסדר $i$ המתאימים לע"ע $\lambda\$ נתון על ידי הנוסחה: $\ N_i = rank (T - \lambda I)^{i-1} - 2rank (T - \lambda I)^{i} + rank (T - \lambda I)^{i+1}$ .; יש לשים לב שנכונותה של נוסחה זו מהווה הוכחה לכך שצורת הז'ורדן נקבעת ביחידות על ידי הטרנספורמציה עצמה ולא על ידי הבסיס לפיו היא מיוצגת על ידי המטריצה. כלומר צורת הז'ורדן יחידה עד כדי סדר הבלוקים.

ה.: מן האמור לעיל נובע שצורת הז'ורדן של מטריצה אלכסונית היא המטריצה האלכסונית עצמה.

[עריכה] מציאת צורת ז'ורדן

שתי דרכים עיקריות קיימות למציאת צורת ז'ורדן של טרנספורמציה לינארית $\ T$ . האחת מבוססת על הוכחת יחידותה של צורת ז'ורדן ומתבססת על הנוסחה למציאת מספר הבלוקים המתאימים לע"ע נתון מסדר $\ k$ . הדרך השנייה מבוססת על מציאת בסיס למרחב לפיו מיוצגת $\ T$ על ידי מטריצת ז'ורדן, ובעצם מבוססת על הוכחת קיומה של צורת ז'ורדן.

[עריכה] מציאת צורת ז'ורדן באמצעות דרגת המטריצה

לפי הנוסחה הנתונה בתכונה ד': $\ N_i = rank (T - \lambda I)^{i-1} - 2rank (T - \lambda I)^{i} + rank (T - \lambda I)^{i+1}$ , ניתן למצוא את מספר הבלוקים בכל גודל, המתאימים לכל ערך עצמי, ובכך להרכיב את צורת הזורדן.

לעתים חישוב מספר הבלוקים הכולל לכל ערך עצמי (על ידי חישוב הריבויים הגאומטריים, ראה תכונה א') יהיה מספיק לקביעת צורת הז'ורדן (למשל במקרה של מטריצה אלכסונית, שאז הריבוי הגאומטרי יהיה זהה לריבוי האלגברי של כל ע"ע, או במקרה שיש רק בלוק אחד, ואז ברור כיצד נראית צורת הז'ורדן.

[עריכה] מציאת צורת ז'ורדן באמצעות בסיס לייצוג הטרנספורמציה

בסיס לפיו מיוצגת הטרנספורמציה בצורת ז'ורדן נקרא בסיס מז'רדן. מטריצה $\ P$ שעמודותיה מהוות בסיס מז'רדן, נקראת מטריצה מז'רדנת. וכאשר $\ A$ מייצגת את הטרנספורמציה לפי הבסיס הסטנדרטי מתקיים: $\ J=P^{-1}AP$ כאשר $\ J$ היא צורת ז'ורדן של הטרנספורמציה.

[עריכה] מציאת בסיס מז'רדן

תהי $\ T$ טרנספורמציה לינארית שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינארים מעל השדה, $\ \lambda _1 , \lambda _2 , ... , \lambda _k$ ערכיה העצמיים שונים, ותהי $\ A$ המטריצה המייצגת שלה בבסיס הסטנדרטי. נראה כיצד למצוא בסיס על פיו מיוצגת $\ T$ על ידי מטריצת ז'ורדן.

[עריכה] סימונים

לכל $\lambda\$ ערך עצמי של $\ T$ נסמן:

א. $\ m_i$ הוא הריבוי האלגברי של $\ \lambda _i$ .

ב. $\ V_i$ הוא המרחב העצמי המוכלל של $\ \lambda _i$ שהוא אוסף כל הווקטורים עבורם קיים $\ r_i$ כך ש: $\ (T - \lambda _i I )^{r_i} v =0.$

ג. $\ T _{ | V_i }$ הוא הצמצום של $\ T$ למרחב העצמי המוכלל. הטרנספורמציה $\ T _{ | V_i }$ היא נילפוטנטית מסדר $\ r_i$ . (ולמעשה $\ r_i \le m_i$ ).

[עריכה] מספר עובדות חשובות

הבסיס המז'רדן מורכב מאיחוד הבסיסים של המרחבים העצמיים המוכללים. (המרחבים העצמיים המוכללים הם סכום ישר של המרחב).

כל מרחב העצמי מוכלל מורכב מתת-מרחבים ציקלים המהווים סכום ישר שלו.

מספרם של תת-המרחבים הציקלים המתאימים לכל ערך עצמי $\ \lambda _i$ הוא בדיוק כמספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי $\ \lambda _i$ , כלומר הריבוי הגאומטרי שלו.

[עריכה] האלגוריתם למציאת בסיס מז'רדן

כדי למצוא בסיסים לתת המרחבים הציקלים עבור ערך עצמי $\ \lambda _i$ נפעל באופן הבא:

. נמצא בסיס B של המרחב העצמי של ולכל וקטור נבצע את הפעולות הבאות:
1. נסמן $\ v_1=v_l$ .
2. באופן אינדוקטיבי נגדיר $\ v_1 , ... , v_k$ על ידי: $\ (T- \lambda _i I) \vec { v _{j+1} } = \vec {v_j}$ , עד אשר לא יהיה פתרון למשוואה.
3. נסמן $\ C_l = v_1 , ... , v_k$ את הבסיס הציקלי שבנינו זה עתה.
נסמן $\ B_i = C_1 \cap ... \cap C_{d_i}$ את איחוד הבסיסים הציקלים שמצאנו המתאימים לערך העצמי $\ \lambda _i$ .
$B i$ מהווה בסיס למרחב העצמי המוכלל המתאים ל- $\ \lambda _i$ .