מרחב הילברט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מרחב הילברט הוא מרחב מכפלה פנימית שהוא שלם ביחס לנורמה שמשרה המכפלה הפנימית שלו, בדרך כלל מממד אינסופי. מרחבי הילברט קרויים על שם המתמטיקאי הנודע דויד הילברט ונודעת להם חשיבות רבה במסגרת תורת האנליזה הפונקציונלית.

מרחבי הילברט מאפשרים יישום של מושגים גאומטריים בסיסיים כגון הטלה ושינוי בסיס, על מרחבים בעלי ממדים אינסופיים כדוגמת המרחבים הפונקציונליים. הם מספקים הקשר איתו ניתן לעצב ולהכליל את המושגים של טור פורייה במונחים של פולינומים אורתוגונליים שרירותיים ושל התמרת פורייה. מרחבי הילברט הם בעלי חשיבות מכרעת בניסוח המכניקה הקוונטית.

[עריכה] הגדרה

מרחב הילברט הוא מרחב מכפלה פנימית (מרחב וקטורי בעל מכפלה פנימית) שהוא מרחב מטרי שלם ביחס למטריקה $\ d(x,y)=\langle x-y,x-y\rangle^{1/2}$ שמשרה המכפלה הפנימית.

בפרט, מרחב הילברט חייב להיות מרחב וקטורי מעל לשדה שלם כמו שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים. לדוגמה, $\ \mathbb{R}^n$ הוא מרחב הילברט (ביחס לכל מכפלה פנימית), בעוד ש- $\ \mathbb{Q}^n$ איננו כזה.

[עריכה] המרחב $L 2$

המרחב $\ L_2(X)$ כאשר $\ X \subset \mathbb{R}$ הוא אחד מהמרחבים הפונקציונליים ומרחבי הילברט החשובים ביותר.

מרחב $\ L_2(X)$ מוגדר להיות כקבוצת כל ה"פונקציות" $\ f:X \to \mathbb{C}$ שהן אינטגרביליות לבג בריבוע על הקבוצה $\,X$ . כלומר, האינטגרל לפי לבג קיים ומתקיים $\ \int_{X}{|f|^2 d \mu} = \int_{X}{|f(t)|^2 dt} < \infty$ (כאשר $\,\mu$ היא מידת לבג). אז מסמנים ש $\ f \in L_2(X)$ . מרחב זה, עם פעולת חיבור פונקציות וכפל בסקלר הוא מרחב וקטורי.

יתרה מכך, הוא מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית הבאה:

$\ \lang f , g \rang = \int_{X}{f(t) g^*(t) dt} = \int_{X}{f(t) \overline{g(t)} dt}$

כאשר * (או קו עליון) מסמנים לקיחת צמוד מרוכב.

חשוב להדגיש נקודה מהותית לגבי איברי $\ L_2(X)$ . כאשר אמרנו שזהו מרחב של פונקציות לא ממש דייקנו. לפי בניית אינטגרל לבג, עולה שאין שום דרך להבחין בין שתי פונקציות $\, f$ ו- $\, g$ הנבדלות אחת מהשנייה רק על קבוצה בעלת מידה אפס באמצעות המכפלה הפנימית או הנורמה. לכן, הנורמה של כל פונקציה ששונה מאפס רק על קבוצה בעלת מידה אפס היא אפס. מצב זה עומד בניגוד לאקסיומות הנורמה שדורשות: $\ \| f \| =0 \iff f = 0$ . כדי לתקן מצב זה, במרחב $\ L_2(X)$ לא מדברים על פונקציות אלא על מחלקות השקילות שלהן, שנקבעות לפי יחס השקילות הבא:

$\ f = g \ \ \mbox{a.e.} \ \ \equiv f \sim g \iff \mu \left( \left\{ x \in X | f(x) \ne g(x) \right\} \right) = 0$

כלומר: כל שתי פונקציות $\, f$ ו- $\, g$ הנבדלות אחת מהשנייה רק על קבוצה בעלת מידה אפס הן שקולות ומחלקת השקילות שלהן היא איבר במרחב זה. ניתן להגדיר את כל הפעולות הלינאריות על המחלקות באמצעות ביצוע פעולות אלה על הנציגים של כל מחלקה. הגדרה זו טובה והמרחב שמתקבל הוא מוגדר היטב והוא מרחב הילברט.

[עריכה] דוגמאות נוספות

המרחב האוקלידי $\mathbb{R}^n$ עם הנורמה האוקלידית הוא מרחב הילברט.

המרחב $\mathbb{C}^n$ עם המכפלה הפנימית: $\ \lang z , w \rang = \sum_{k=1}^{n}{{z_k}\overline{w_k}}$ הוא מרחב הילברט.

מרחב הסדרות האינסופיות: $\ell_2 =\left\{ (x_n)_{n=1,\dots}| x_n\in \mathbb{C},\sum_{n \in \mathbb{N}} \left|x_n\right|^2 < \infty \right\}$ , מצויד במכפלה הפנימית $\langle x, y \rangle = \sum_{n\in \mathbb{N}} x_n\overline{y_n}$ , הוא מרחב הילברט.