Divergencia (vektoranalízis)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A divergencia a vektoranalízis egy differenciáloperátora. Mind differenciálgeometriai, mind fizikán belüli alkalmazásai jelentősek. Legszemléletesebb képét az áramlástanban nyeri el, ahol azt mutatja meg, hogy egy kis térfogatból mennyi folyadék áramlik ki. Ha a térfogatban folyadékforrás van, akkor a divergencia pozitív, ha nyelő, akkor negatív, ha a folyadék csak keresztüláramlik a vizsgált térfogatrészen, akkor a divergencia nulla. Mindezek miatt a divergenciát néha forráserősségnek is nevezik a középiskolai fizikatankönyvek.

Másrészt a differenciálegyenletek elméletében gyakran csak koordinátáival hivatkoznak rá, ami annak köszönhető, hogy kifejezhető parciális deriváltak összegeként.

[szerkesztés] Háromdimenziós eset

Legyen v : R³ $\rightarrow$ R³ egy nyílt halmazon értelmezett differenciálható függvény (vektromező). Tekintsük valamely r pontban a v Frechét-deriváltjának sztenderd bázis szerinti koordinátamátrixát (Jacobi-mátrix). E mátrix főátlóbeli elemeinek összegét (spurját vagy nyomát) nevezzük a v divergenciájának:

$div\;\mathbf{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}$

ahol v_x, v_y, v_z a v három koordinátafüggvénye, mellyel v=(v_x, v_y, v_z). Belátható, hogy ez a szám bázisfüggetlen. Akármilyen bázisban is írjuk fel a divergencia értékét mindig ugyanaz a szám lesz. Ezt jól jellemzi, hogy a divergencia kifejezhető bázisoktól független módon is, határértékként:

$div\; \mathbf{v}=\lim\limits_{\mathcal{F}\to \mathbf{r}}\frac{1}{V}\int\limits_{\mathcal{F}}\mathbf{v}\,d\mathbf{F}$

ahol F az r pontot körülölelő, egyszeresen összefüggő tartományt bezáró felület, a bezárt tartomány térfogata V és ∫v dF pedig a v-nek az F felületre vonatkozó felületi integrálja (fluxus).

A divergencia előbbi kifejezéséből következik a következő integrálátalakító formula, melyet divergenciatételnek vagy matematikai Gauss-tételnek neveznek:

$\int\limits_{V}\operatorname{div}\,\mathbf{v}\,dV = \oint\limits_{\mathcal{F}}\mathbf{v}\,d\mathbf{F}$

azaz egy vektormező divergenciájának térfogati integrálja egy egyszeresen összefüggő tartományra egyenlő a vektormezőnek a tartomány zárt határfelületére vett felületi integráljával.

[szerkesztés] Általános eset

Tekintsünk egy E véges dimenziós normált teret és benne egy nyílt halmazon értelmezett v : E $\mapsto$ E differenciálható függvényt. Az ilyen függvényt is vektormezőnek neveznek. Ekkor létezik egy kitüntetett lineáris leképezés Hom(E,E)-ben, melyet kanonikus nyomformának nevezünk és Tr-rel vagy Spur-ral jelölünk. Ezt az tünteti ki, hogy minden x ∈ E elemre és A ∈ Hom(E,E) invertálható leképezésre teljesül:

$\operatorname{Tr}(AxA^{-1})=\operatorname{Tr}(x)\,$

azaz a bázistranszformációra nézve invariáns. A v függvény divergenciája egy a pontban definíció szerint, a nyomforma és a differenciál kompozíciója:

$\operatorname{div}\,\mathrm{v}= \mathbf{Tr}\circ D\mathrm{v}(a)$

Mivel a differenciál (deriválttenzor) is invariáns a bázistranszformációra, ezért a divergencia is az.

[szerkesztés] Indexes írásmód

A divergencia, mint v $\mapsto$ div v differenciáloperátor kifejezhető a ∇ (nabla) formalizmussal. Eszerint, $\operatorname{div}\,\mathbf{v}=\nabla\cdot \mathbf{v}$ skalárszorzással, vagy az indexes írásmódban, illetve az Einstein-konvenció értelmében:

$\operatorname{div}\,\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^3\partial_i v_i=[\mbox{Einstein-konv.}]=\partial_i v_i$

[szerkesztés] Azonosságok

$\operatorname{div}\,\vec{c} = 0$
$\operatorname{div}\,(c\cdot\vec{F}) =c\cdot\operatorname{div}\,\vec{F}$
$\operatorname{div}\,(\vec{F}+\vec{G}) =\operatorname{div}\,\vec{F}+\operatorname{div}\,\vec{G}$
$\operatorname{div}\,(u\cdot\vec{F}) =\operatorname{grad}\,u\cdot\vec{F}+u\cdot\operatorname{div}\,\vec{F}$
$\operatorname{div}(\vec{F}\times\vec{G}) = \vec{G}\,\operatorname{rot}\,\vec{F} - \vec{F}\,\operatorname{rot}\,\vec{G}$