Divergència

De Viquipèdia

En càlcul vectorial, s'anomena divergència a l'operador que mesura la tendència d'un camp vectorial per originar-se o convergir a un determinat punt. Per exemple, per un camp vectorial que denoti la velocitat del fluxe de l'aigua escolant-se per una banyera, la divergència tindria valor negatiu al forat de la banyera, ja que l'aigua se'n va per allà (si només considerem dues dimensions); lluny del forat, la divergència seria zero, ja que no hi ha cap més pèrdua o font d'aigua.

Un camp vectorial que té divergència zero s'anomena solenoïdal.

[edita] Definició

Sigui x, y, z un sistema de coordenades cartesianes en un espai euclidià de dimensió tres, i siguin i, j, k les bases dels vectors unitat corresponents.

La divergència d'un camp vectorial diferenciable continu

F = F_x i + F_y j + F_z k

es defineix com la funció de valor escalar

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}.$

Encara que s'expressi en termes de coordenades, el resultat és invariant sota transformades ortogonals, tal i com suggereix la interpretació física.

Una altra notació comú de la divergència és ∇·F. Veure en aquest sentit operador nabla.

[edita] Interpretació física

En termes físics, la divergència d'un camp vectorial és l'abast en el que el fluxe d'un camp vectorial es comporta com una font o un desguàs en un punt determinat. De fet, una alternativa dóna la divergència com la derivada del fluxe net d'un camp vectorial a través de la superfície d'una esfera petita relativa amb el volum de l'esfera. Concretament,

$( \operatorname{div}\,\mathbf{F}) (p) = \lim_{r \rightarrow 0} \int_{S(r)} {\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}dS \over \frac{4}{3} \pi r^3 }$

on S(r) denota l'esfera de radi r al punt p en R³, i la integral és la integral de superfície respecte de n, la normal a l'esfera.

Per la interpretació física, un camp vectorial amb divergència constant zero s'anomena incomprimible – en aquest cas, no hi pot haver cap fluxe net a través de cap superfície tancada.

[edita] Propietats

Les propietats següents deriven totes de les regles de diferenciabilitat ordinària del càlcul. La més important, la divergència és un operador lineal,

$\operatorname{div}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) + b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} )$

per tots els camps vectorials F i G i tots els números reals a i b.

Hi ha una norma de producte del tipus següent; si φ és una funció de valor escalar, i F és un camp vectorial, llavors

$\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}),$

o en notació més suggestiva

$\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}).$

Una altra regla del producte pel producte escalar de dos camps vectorials F i G en tres dimensions implica el rotacional, que és:

$\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} \;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{rot}(\mathbf{G}),$

o bé

$\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).$

El Laplacià d'un camp escalar és la divergència del gradient del camp.

La divergència del rotacional de qualsevol camp vectorial (en tres dimensions) és constant i val zero.

$\nabla\cdot(\operatorname{rot}(\mathbf{F})) = 0.$

Al contrari, si tens un camp vectorial F amb divergència nul·la definit en una bola en R³, llavors existeix algun camp vectorial F en aquesta bola amb F = rot(G). Per regions en R³ més complicades que boles, l'última afirmació pot no ser veritat.