Invertálható mátrix

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A lineáris algebrában egy n x n-es (négyzetes) $A$ mátrix invertálható vagy nem szinguláris, ha létezik egy olyan n×n -es $B$ mátrix, melyre igaz:

$AB = BA = I_n \$ ,

ahol $I n$ az n×n-es egységmátrixot jelöli és a szorzás a szokásos mátrixszorzás. Ebben az esetben a $B$ -ot egyértelműen meghatározza az $A$ mátrix, és $A$ inverzének hívják és $A - 1$ -gyel jelölik . Igazolható, hogy ha az $A$ és $B$ négyzetes mátrixokra $A B = I$ , akkor $B A = I$ is teljesül.

A nem invertálható négyzetes mátrixot szingulárisnak vagy degeneráltnak nevezik. Alapszabályként kimondható, hogy majdnem minden négyzetes mátrix invertálható. A valós számtest esetében ez a következőképpen tehető precízzé: az n x n-es szinguláris mátrixok halmaza, mint $R^{n \times n}$ részhalmaza, nullmértékű halmaz (a Lebesgue-mérték szerint). Ez azért igaz, mert a szinguláris mátrixok a determináns, egy $n 2$ -változós polinom gyökrendszerei.

Ez azt jelenti, hogy ha véletlenszerűen kiválasztunk egy valós elemű négyzetes mátrixot, annak valószinűsége, hogy a mátrix szinguláris, nulla. A gyakorlatban azonban bukkanhatunk nem invertálható mátrixokra. Numerikus módszerek használata esetén azok a mátrixok is problematikusak lehetnek, melyek invertálhatók, de közel esnek a szinguláris mátrixhoz, ezekre a mátrixokra mondják, hogy rosszul kondícionált mátrixok.

A mátrix inverzió az $A\mapsto A^{-1}$ művelet neve.

[szerkesztés] Invertálható mátrixok tulajdonságai

Legyen $A$ egy n x n-es mátrix a $K$ test felett. Ekkor a következő állítások ekvivalensek:

$A$ invertálható.
$A$ sor-ekvivalens az $I n$ n-szer n-es egységmátrixhoz.
$A$ -nak n pivot eleme van.
$A$ determinánsa ≠ 0.
$A$ rangja = n.
Az $A x = 0$ egyenletnek csak a triviális $x = 0$ megoldása van (azaz Null A = {0})
Minden $b\in K^n$ -re az $A x = b$ egyenletnek pontosan egy megoldása van.
$A$ oszlopvektorai lineárisan függetlenek.
$A$ oszlopvektorai kifeszítik $K n$ -t.
$A$ oszlopvektorai $K n$ bázisát alkotják.
Az $x\mapsto Ax$ lineáris leképezés bijekció $K n$ -ről $K n$ -re.
Van olyan $B$ n-szer n-es mátrix, amire $A B = I n$ teljesül.
Az $A$ mátrix $A T$ transzponáltja invertálható mátrix.
$A T A$ invertálható mátrix.
0 nem sajátértéke $A$ -nak.

Általában, egy kommutatív gyűrű feletti négyzetes mátrix pontosan akkor invertálható, ha determinánsa a gyűrű egysége.

Invertálható mátrix inverze maga is invertálható és

$\left(A^{-1}\right)^{-1} = A$ .

Egy $A$ invertálható mátrix $λ$ nemnulla skalárral vett szorzata szintén invertálható és inverze a skalár inverzének és a mátrix inverzének szorzata:

$\left(kA\right)^{-1} = k^{-1}A^{-1}$ .

Ha az $A$ és $B$ mátrixok invertálhatók, akkor $A B$ szorzatuk is és

$\left(AB\right)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

(tehát inverzképzésnél a tényezők sorrendje fordított). Ennek következtében az invertálható n-szer n-es mátrixok csoportot alkotnak, a Gl(n) csoportot.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../i/n/v/Invert%C3%A1lhat%C3%B3_m%C3%A1trix.html"

Kategória: Lineáris algebra

Invertálható mátrix

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

[szerkesztés] Invertálható mátrixok tulajdonságai

Views

Navigáció

Keresés

Más nyelveken