Rámpafüggvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az ún. rámpafüggvény (angol átvétel: ramp function) egy elemi egyváltozós valós függvény. Egyszerűen számolható, mint a független változó és abszolútértékének számtani közepe. A függvényt a műszaki életben (pl. DSP) is alkalmazzák.

A „rámpafüggvény” elnevezés onnan ered, hogy a függvénygrafikon lejtőre, rámpára hasonlít, a töréspont az origónál van.

Tartalomjegyzék

1 Definíciói
2 Analitikus tulajdonságok
3 Algebrai tulajdonságok
- 3.1 Iteráció-invariancia
4 Hivatkozások
5 Lásd még
6 Irodalom

[szerkesztés] Definíciói

A „rámpafüggvény” grafikonja

$R(x): \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}; R(x) :=$

$=$ $\frac{x+|x|}{2}$
$=$ $\ \begin{cases} x, & \mbox{ha }x \ge 0; \\ 0, & \mbox{ha }x<0 \end{cases}$
= x·H(x)
= H(x)oH(x)
^{ld. itt} $=$ $\int_{-\infty}^{x} H(x)dx$

(ahol H(x) az ún. Heaviside-függvény, o pedig a konvolúció művelete).

[szerkesztés] Analitikus tulajdonságok

[szerkesztés] Nemnegativitás

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolútértéke önmaga, azaz

∀x∈ℝ: R(x)≥0

és

|R(x)| = R(x) .

Bizonyítás: a [2] definíció alapján az I. negyedben nemnegatív, a másodikban nulla, így mindenhol nemnegatív.

[szerkesztés] Folytonosság

Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát a teljesen folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.

[szerkesztés] Derivált

Deriváltja a H(x) Heaviside-függvény ℝ\{0}-ra szűkítve:

R'(x) = H(x) ha x≠0 .

Ugyanis

ha x<0, akkor R(x)=0 konstans, tehát ezen a tartományon (ℝ^–-on) R'(x)=0 (konstans deriváltja 0); ami megegyezik a Heaviside-függvénnyel.
ha x>0, akkor R(x)=x, tehát ezen a tartományon (ℝ⁺) R'(x)=1 (a valós számokon értelmezett identitás deriváltja 1); ami megegyezik a Heaviside-függvénnyel.
0-ban a függvénynek töréspontja van, tehát nem deriválható (jobbról deriválva 0-t, balról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

E tételből a Newton-Leibniz-tételt is figyelembe véve következik az [5]. definíció.

[szerkesztés] Fourier-transzformált

$\mathcal{F}_{k}(R(x))$

=

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi ikx} R(x)dx$

=

$\frac{i\delta '(k)}{4\pi}-\frac{1}{4\pi^{2}k^{2}}$

Itt δ(x) az ún. Dirac-deltafüggvény (a képletben deriválva szerepel).

[szerkesztés] Algebrai tulajdonságok

[szerkesztés] Iteráció-invariancia

Az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív rendű iteráltja önmaga, minthogy

R(R(x)) = R(x) .

Biz.: $R(R(x)):= \frac{\frac{x+|x|}{2}+\left| \frac{ x+|x| }{2} \right| }{2} = \frac{R(x)+|R(x)|}{2} = \frac{R(x)+R(x)}{2}$ $=$
$=$ $\frac{2R(x)}{2} = R(x)$ .