Tömeg

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A tömeg a fizikai testek tulajdonsága, ami a bennük lévő anyag és energia mennyiségét méri. A súlytól eltérően a tömeg mindig ugyanaz marad, akárhová kerül is a hordozója. A relativitáselméletben a az invariáns tömeg nem függ attól sem, milyen vonatkoztatási rendszerből nézzük a testet. A tömegnek központi szerepe van a klasszikus mechanikában és a vele kapcsolatos területeken. A tömeg számos formája jelenik meg a relativisztikus mechanikában.

Szigorúan véve három különböző dolgot neveznek tömegnek:

A tehetelen tömeg a test tehetetlenségének mértéke: az ellenállásának a rá ható erő mozgásállapot változtató hatásával szemben. A kis tehetetlen tömegű test sokkal gyorsabban változtatja mozgásállapotát, mint a nagy tehetetlen tömegű.
A passzív gravitáló tömeg a test és a gravitációs tér kölcsönhatásának mértéke. Azonos gravitációs térben a kisebb passziv gravitáló tömegű testre kisebb erő hat, mint a nagyobbra. (Ezt az erőt nevezik a test súlyának. Gyakran a hétköznapi értelemben a "súlyt" és a "tömeget" szinonímaként használják, mert a gravitációs tér nagyjából állandó nagyságú az egész Föld felszínén. A fizikában a kettőt megkülönböztetjük: egy testnek nagyobb lesz a súlya, ha erősebb gravitációs térbe helyezzük, de a passzív gravitáló tömege változatlan.)
Az aktív gravitáló tömeg a test által létrehozott gravitációs tér erősségének a mértéke. Például a Hold gyengébb gravitációs teret hoz létre, mint a Föld, mert a Holdnak kisebb az aktív gravitáló tömege.

Tartalomjegyzék

1 Bevezetés
2 A tömeg egységei
3 A tehetetlen és gravitációs tömeg
4 Az energia, impulzus és tömeg közötti összefüggés
5 Tömeg a részecskefizikában
6 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Bevezetés

Jóllehet a tehetetlen, a passzív gravitáló és az aktív gravitáló tömeg jelentésüket tekintve különbözőek, nem mutattak ki közöttük különbséget. A tehetetlen és a passzív gravitáló tömeg közötti ekvivalencia (egyenértékűség) egyik következménye a Galileo Galilei által kimutatott tény, hogy a különböző tömegű testek egyforma gyorsan esnek le, ha eltekintünk a légellenállástól. Ezek ekvivalenciáját mutatta ki nagy pontossággal Eötvös Loránd. Az általános relativitáselmélet, a gravitáció jelenleg ismert legpontosabb elmélete azon a feltevésen nyugszik, hogy a tehetelen és passzív gravitációs tömeg teljesen ekvivalens, ezt nevezik gyenge ekvivalenciaelvnek. A klasszikus mechanika területén az aktív és a passzív gravitáló tömeg ekvivalenciája Newton harmadik törvényének következménye, de a gravitáció és a mechanika relatívisztikus megfogalmazásakor ezt egy új axiómának kellett kimondania. Emiatt a standard relativitáselmélet szintén felteszi a kettő ekvivalenciáját; ezt az ekvivalenciát néha erős ekvivalenciaelvnek nevezik.

Ha külön kezelnénk az m_i tehetetlen tömeget, az m_p passzív gravitáló tömeget és az m_a aktív gravtáló tömeget, akkor Newton törvénye az általános tömegvonzásról és a Newton-féle mozgásegyenlet a következő összefüggést szolgáltatná:

$m_{i2}a_2=\frac{Gm_{a1}m_{p2}}{r^2}.$

Newton harmadik törvénye a hatás-ellenhatásról azt mutatja, hogy az aktív és passzív gravitáló tömegek arányosak egymással, ezért egyenlőnek definiálhatók.

[szerkesztés] A tömeg egységei

Az SI-mértékegységrendszerben a tömeg egysége a kilogramm (kg). Sok más egység is használatban van a világon, mint a tonna, uncia, atomi tömegegység (ATE), Planck-tömeg, naptömeg és az eV/c².

Az eV/c² egység (kb. 1.783 × 10^-36 kg) az elektronvolton alapul, ami egy energiaegység. Az energia és a nyugalmi tömeg közötti relativisztikus E = mc² kapcsolat miatt lehetséges azonban bármely energiaegységet tömegegységgé konvertálni. Sokszor a c² tényező is elmarad, ez precízen is megtehető a $\hbar = c = 1$ egységrendszer használatával.

Mivel a gravitációs gyorsulás a Föld felszínén közelítőleg állandó, a súly egységeit is gyakran használják a gyakorlati életben - helytelenül - a tömeg mértékegységeiként.

[szerkesztés] A tehetetlen és gravitációs tömeg

[szerkesztés] Tehetetlen tömeg

A tehetetlen tömeg egy objektum gyorsítással szembeni ellenállásának mértéke. Newton második törvénye értelmében egy m tehetetlen tömegű testre ható F erő esetén:

$F = \frac{d}{dt} (mv)$

ahol v a test sebessége. Most tegyük fel, hogy a test tömege állandó. Ez a feltételezés, amit a klasszikus fizikában tömegmegmaradásként ismerünk, két gondolaton nyugszik:

a tömeg, a testben levő anyag mennyiségének mértéke
anyag nem hozható létre és nem tüntethető el, csak felosztható, vagy újraegyesíthető

Ezek nagyon ésszerű feltételezések, bár a helyzet a speciális relativitáselméletben bonyolultabbá válik. Egy másik kérdés, hogy még a klasszikus mechanikában is néha hasznos egy test tömegét úgy kezelni, mint ami az időben változik. Pl. egy rakéta tömege csökken, ahogy a rakéta működik. Ez azonban csak egy közelítés, ami elhanyagolja a rendszerbe belépő vagy onnan távozó anyagot. A rakéta esetében ez az anyag a távozó elégett hajtóanyag, ha mérnénk a rakéta és a hajtóanyag együttes tömegét, azt találnánk, hogy az megmarad.

Ha egy test tömege állandó, akkor Newton második törvénye így írható:

$F = m \frac{dv}{dt} = m a$

ahol a a test gyorsulása. Ez az egyenlet illusztrálja, mit jelent a test tehetetlensége. Ha nagyobb tömegű testet gyorsítunk ugyanazzal az erővel, kisebb lesz a gyorsulása, mint egy kisebb tömegű testé, azaz mondhatjuk, a nagyobb tömegű testnek nagyobb az "ellenállása" a mozgás megváltoztatásával szemben.

De mit is jelent "ugyanaz az erő"? Ehhez Newton harmadik törvényét hívhatjuk segítségül, miközben két egymással kölcsönható testet tekintünk, amik minden más külső hatástól mentesek. A B test által A-ra ható erőt jelöljük F_AB-vel, az A által B-re hatót pedig F_BA-val. Ahogy láttuk, Newton második törvénye szerint:

$F_{AB} = m_A a_A \,$ és $F_{BA} = m_B a_B \,$

ahol a_A és a_B A ill. B gyorsulása. Ekkor Newton harmadik törvénye szerint:

$F_{AB} = - F_{BA} \,$

Ezt az előző egyenletbe helyettesítve:

$m_A = - \frac{a_B}{a_A} \, m_B$

Tulajdonképpen ez az, ahogy mérhetjük egy objektum tehetetlen tömegét. Választunk egy referenciaobjektumot, és definiáljuk a tömegét (m_B) mondjuk 1 kilogrammnak. Utána az Univerzum minden objektumának tömegeét megmérhetjük úgy, hogy ütköztetjük a referenciobjektummal és mérjük mindkettőjük gyorsulását.

[szerkesztés] Gravitációs tömeg

A gravitációs tömeg a gravitációs mező hatása alapján mért tömeg. tegyük fel, hogy egy A és B objektum egymástól |r_AB| távolságra helyezkedik el. A gravitációs törvény szerint, ha a két test gravitációs tömege M_A ill. M_B, akkor mindkét objektum gravitációs erőt fejt ki a másikra:

$|F| = {G M_A M_B \over |r_{AB}|^2}$

ahol G a gravitációs állandó. Ezt az állítást átfogalmazhatjuk a következő módon: ha g egy referenciatömeg gyorsulása adott helyen egy gravitációs mezőben, akkor egy M tömegre ható gravitációs erő:

$F = Mg \,$

Ez az alapja a súlyméréssel történő tömegmeghatározásnak. Rugós mérlegen a rugó elmozdulása a súly hatására arányos F-fel (ld. a Hooke-törvényt), g-t pedig kalibrálással vesszük figyelembe, hogy az M tömeget olvashassuk le. A kétserpenyős mérleggel viszont közvetlenül mérhetjük a tömeget a leggyakrabban "súlyoknak" hívott referenciatömegek segítségével.

[szerkesztés] A tehetetlenségi és a gravitációs tömeg ekvivalenciája

Fő szócikk: Ekvivalenciaelv

A tehetetlenségi és gravitációs tömeg ekvivalenciáját gyenge ekvivalenciaelvnek vagy Galilei-féle ekvivalenciaelvnek nevezzük. Ezen elv legfontosabb következménye a szabadon eső testekre vonatkozik. Tegyük fel, hogy egy test tehetetlen tömege m és gravitációs tömege M. Ha az egyetlen ható erő a gravitációs mezőből származik, akkor Newton második törvénye és a gravitációs törvény együtt a következőt gyorsulást adja:

$a = \frac{M}{m} g = Kg$

Eszerint a gravitációs és tehetetlen tömeg aránnya akkor és csak akkor egyenlő egy K állandóval, ha minden test ugyanolyan gyorsan esik adott gravitációs mezőben. Ezt a jelenséget a szabadesés egyetemességének. A K konstans egynek választható az egységek alkalmas megválasztásával.

A szabadesés egyetemességét kísérletileg először Galileo Galilei demonstrálta. A hagyomány szerint a Pisai Ferdetorony tetejéről tárgyakat ejtett le, ez azonban valószínűtlen. Valójában labdákat gurított le lejtős síkfelületeken. Később egyre pontosabb kísérleteket végeztek, az egyik legnevezetesebb, sokáig "csúcstartó" Eötvös Loránd kísérlete volt a torziós ingával 1889-ben. Egészen máig nem találtak eltérést az egyetemességtől.

Megjegyzendő, hogy az egyetemesség akkor igaz, ha a gravitáció az egyetlen ható erő, minden más erő, különösen a súrlódás és a légellenállás elhanyagolható kell legyen. A szokásos földi körülmények között egy kalapácsot és egy madártollat leejtve a madártoll sokkal később fog földet érni a légellenállás miatt, ami miatt a toll ilyenkor nincs szabadesésben, a légellenállás kb. ugyanolyan erős esetében, mint a gravitáció. De ha vákuumban végezzük a kísérletet, akkor a toll és a kalapács ugyanolyan gyorsan esik a talaj felé. Ezt 1971-ben a Holdon az Apollo-15 parancsnoka, David Scott demonstrálta.

Az ekvivalenciaelv egy erősebb változata az Einstein-féle ekvivalenciaelv vagy erős ekvivalenciaelv, ami az általános relativitáselmélet központi gondolata. Kimondja, hogy lehetetlen megkülönböztetni az egyenletes gyorsítást az egyenletes gravitációs mezőtől. Így felteszi, hogy a tehetetlen és a gravitációs tömeg alapvetően ugyanaz a dolog. Az általános relativitáselmélet minden jóslata, mint pl. a téridő görbültsége, ebből az alapvető elvből származtatható.

[szerkesztés] Az energia, impulzus és tömeg közötti összefüggés

Fő szócikk: Tömeg a speciális relativitáselméletben

A speciális relativitáselmélet a klasszikus fizika szükséges kiterjesztése. Különösen azért, mert sikeresen leírja a fénysebességhez közeli sebességgel mozgó testek mechanikáját, ahol a klasszikus fizika csődöt mond.

A relativisztikus mechanikában az m tömegű, E energiájú és p impulzusú részecskére a következő összefüggés igaz:

$\frac{E^2}{c^2} = m^2 c^2 + p^2$ .

ahol c a fénysebesség. Ezt néha tömeg-energia-impulzus összefüggésnek is hívják. Rögtön észrevehetjük, hogy ez az összefüggés kezelni tudja a tömeg nélküli (m=0) objektumokat is:

$E = pc \,$

A klasszikus mechanikában a tömeg nélküli objektumok kezelhetetlenek, mert erőhatásra Newton második törvénye szerint végtelen gyorsulásuk lenne, ami egy értelmetlen dolog. A relativitáselméletben a tömeg nélküli részecskék mindig fénysebességgel haladnak. Példa rájuk maga a fény a fotonok alakjában.

Tekintsünk most a nemnulla tömegű objektumot. Most m egyszerű fizikai jelentéssel, ez az objektum tehetetlen tömege az objektum nyugalmi rendszerében, abban a vonatkoztatási rendszerben, ahol a sebessége nulla. Közbevetőleg jegyezzük meg, hogy tömeg nélküli objektumoknak nincs nyugalmi rendszere.

A nyugalmi rendszerben a sebesség nulla, és így a p impulzus is. A tömeg-energia-impulzus összefüggés ekkor a nevezetes összefüggésre redukálódik:

$E = mc^2 \,$

ami tehát a nyugalmi tömeg és a nyugalmi energia közötti kapcsolat. Ezt ki szokták néha terjeszteni általában az energia és a tömeg közötti kapcsolatra bármely rendszerben és akkor az ún. "mozgási tömeget" éppen ez a kifejezés definiálja. A fizikusok általában viszont ezt nem teszik, ez a kifejezés ugyanis nem kovariáns. Az energia egy négyesvektor nulladik komponense, a "mozgási tömeg" pedig se nem Lorentz-tenzor, se nem ilyennek a komponense, márpedig egy "jó" egyenlet két oldalának ugyanolyan transzformációs tulajdonságokkal kell rendelkeznie. A "mozgási tömeg" nem fizikai mennyiség.

Vizsgáljuk meg, hogy viselkedik egy objektum, ha nincs nyugalomban. Rendezzük át a tömeg-energia-impulzus összefüggést:

$E = mc^2 \sqrt{1 + \left( {p \over mc} \right)^2}$

Ha a p impulzus sokkal kisebb, mint mc akkor a négyzetgyököt Taylor-sorba fejthetjük:

$E = mc^2 + {p^2 \over 2m} + \cdots$

ahol az első tag a nyugalmi energia, a második tag pedig a mozgási energia klasszikus mechanikai kifejezése, a ki nem írt többi tag pedig a relativisztikus korrekció a mozgási energiához.

Egy makroszkopikus objektumra az $m c 2$ nyugalmi energia magában foglalja a hőenergiát is, ami az objektumot összetevő atomok és molekulák véletlenszerű mozgásához kapcsolódik. Ez a hozzájárulás általában sokkal kisebb, mint a nyugalmi energia, de gyakran nagyobb, mint a mozgási energia. Pl. ha két test ütközés után összeragad, akkor a mozgási energiájuk nem marad meg, hanem nagyrészt hővé alakul, úgyhogy tömegük kis mértékben megnövekszik. Ugyanakkor az anyagcsere, tűz és más exoterm folyamatok tömeget hővé alakítanak, bár a tömegváltozás gyakran elhanyagolható.

A szubatomi részecskék átalakulási folyamatai esetén sokkal jelentősebb tömegváltozások lehetségesek. A tömeg nem marad meg. A legegyszerűbb példa az elektron-pozitron annihiláció, amiben egy - tömeges - elektron és egy - tömeges - pozitron megsemmisül, hogy helyettük két - tömeg nélküli - foton jöjjön létre. Más példák többek között a magfúzió és a maghasadás. Az energia mindig megmarad a speciális relativitáselméletben is, ami történik az az, hogy a nyugalmi energia mozgási energiává alakul. Az energia ilyen "felszabdíthatósága" a speciális relativitáselmélet egyik fontos jóslata.

[szerkesztés] Tömeg a részecskefizikában

Fő szócikk: Tömeg a részecskefizikában

A kis távolságok miatt jelentőssé váló kvantummechanikai effektusok miatt a tömeg is új vonást, változékonyságot mutat azonos típusú részecskék esetén is. Végtelen élettartamú, azaz stabil részecskék esetén - ilyen pl. a proton és az elektron - a tömeg határozott értékű abban az értelemben, hogy pl. akárhány protont is vizsgálunk meg, tömegükre mindig ugyanazt az értéket kapjuk, a mérési hibahatáron belül. Nagyon sok mérés átlagát véve azonban a hiba tetszőlegesen kis értékre leszorítható. Azt mondjuk, hogy a stabil részecskék tömegszélessége nulla.

Véges élettartamú részecskék esetén azonban más a helyzet. Ezek tömegét megmérve azt találjuk, hogy nagyon pontos mérés esetén is, a mérési hibahatáron túl a tömegértékek nem egy éles határozott értéket, hanem egy Breit-Wigner-eloszlást adnak. Az eloszlás összhangban van az energiára vonatkozó határozatlansági relációval, és a speciális relativitáselmélet azon eredményével, miszerint a tömeg az energia egy formája. Minél hosszabb ugyanis az élettartama egy részecskének, annál nagyobb idő telhet el két energiamérés, azaz tömegmérés között, s annál kisebb így az elvi - azaz nem a mérőberendezéstől függő - hibája a mérésnek.

Tömegmérést legegyszerűbben például a bomlástermékek energia- és impulzusmérésével hajthatunk végre. Bomoljon az M tömegű, p impulzusú és E energiájú részecske az egyszerűség kedvéért két m₁ és m₂ tömegű részecskére, amelyek impulzusa legyen rendre p₁ és p₂, energiája pedig E₁ és E₂. Az energia- és impulzusmegmaradás miatt:

$E = E_1 + E_2, \quad \mathbf{p} = \mathbf{p_1} + \mathbf{p_2}$

A bomló részecske tömegét tehát így kaphatjuk meg:

$M^2 = E^2 - \mathbf{p}^2 = (E_1 + E_2)^2 - (\mathbf{p_1} + \mathbf{p_2})^2$

amit a két bomlástermék effektív tömegének nevezünk és ami tehát a bomló részecske tömege. Nagyon fontos megjegyezni, hogy ez az összefüggés, azaz az energiamegmaradás mindig teljesül, akármilyen M értéket is vesz fel a bomló részecske tömege a Breit-Wigner-eloszlásban.

Az energiamegmaradás az ún. virtuális részecskék keletkezésekor és bomlásakor is mindig teljesül, ezek viszont keletkezhetnek a nominális tömegüktől - a fent említett Breit-Wigner eloszlás várható értékétől - nagyon távol eső tömeggel is, csak minél nagyobb az eltérés, annál kisebb az illető folyamat valószínűsége (amit szintén Breit-Wigner eloszlás ír le). Ez valódi szélességgel rendelkező, azaz nem stabil részecskék esetén érthető, szinte természetes, de nem csak ők lehetnek virtuális részecskék, hanem stabil részecskék is. És így például a virtuális fotonnak is lehet tömege, sőt virtuális részecske tömege lehet képzetes is, azaz az energiája lehet kisebb az impulzusánál.

[szerkesztés] Külső hivatkozások

R.V. Eötvös et al, Ann. Phys. (Leipzig) 68 11 (1922)

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../t/%C3%B6/m/T%C3%B6meg.html"

Kategória: Fizikai mennyiségek