Teorema della base di Hilbert
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Il teorema della base di Hilbert, dimostrato da David Hilbert per la prima volta nel 1888, sostiene che se A è un anello noetheriano, allora l'anello dei polinomi A[x] è noetheriano.
Procedendo ricorsivamente, si dimostra che anche è un anello noetheriano. In particolare, se A è un campo algebricamente chiuso, il risultato è importante in geometria algebrica poiché permette di ricavare che ogni ideale dell'anello è generato da un numero finito di elementi.
[modifica] Dimostrazione
Sia un ideale; per assurdo, se A[x] non fosse noetheriano si potrebbe costruire una successione di polinomi tali che per ogni i positivo si abbia:
- ;
Si consideri l'ideale generato dai coefficienti direttori dei polinomi; poiché A è noetheriano, esistono degli elementi tali che . In generale, bj non è un coefficiente direttore di un pi, tuttavia ognuno è dato da una combinazione lineare degli ai, dato che , quindi si può pensare che (ai) sia generato dai primi r elementi, cioè .
Ora, si costruisca il polinomio , dove e di = deg(pi); q è un polinomio di grado dr e coefficiente direttore ar, appartenente all'ideale . Sottraendolo a pr si ottiene un polinomio in di grado minore di dr e ciò contrasta con la scelta della successione.