Unità di misura di Planck

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In fisica, le unità di misura di Planck sono unità di misura fisiche proposte dal premio Nobel tedesco Max Planck. Costituiscono un sistema di unità naturali (e sono spesso così identificate) dacché esse sono definite esclusivamente in termini di costanti fisiche universali e dimensionali quali quelle che seguono; le unità sono naturali perché il valore numerico di queste cinque costanti diventa 1 qualora espresso in unità di questo sistema.

Constante	Simbolo	Dimensioni fisiche
Velocità della luce nel vuoto	${ c } \$	L T^-1
Costante gravitazionale	${ G } \$	M^-1L³T^-2
"Costante di Planck ridotta" o costante di Dirac	$\hbar=\frac{h}{2 \pi}$ dove ${h} \$ è la costante di Planck	ML²T^-1
Costante della forza di Coulomb	$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ dove ${ \epsilon_0 } \$ è la costante dielettrica nel vuoto	Q^-2 M L³ T^-2
Costante di Boltzmann	${ k } \$	ML²T^-2Θ^-1

Le unità di Planck sono spesso descritte ironicamente dai fisici quali le "unità di Dio". Queste eliminano l'antropocentrico arbitrio del sistema delle unità: alcuni fisici credono che eventuali intelligenze extraterrestri potrebbero far uso dello stesso sistema.

Le unità naturali possono aiutare i fisici a risolvere alcune domande. Frank Wilczek probabilmente ha fatto l'osservazione più acuta:

...Vediamo che la domanda [posta] non è "Perché la gravità è così debole?" ma piuttosto "Perché la massa del protone è così piccola?". Per le unità di Planck, l'intensità della gravità è semplicemente quella che è, una quantità primaria, mentre la massa del protone è un numero molto piccolo...(en)http://www.physicstoday.org/pt/vol-54/iss-6/p12.html (Giugno 2001 da "Physics Today")

L'intensità della gravità è semplicemente quella che è così come l'intensità della forza elettromagnetica è semplicemente quella che è. La forza elettromagnetica opera in base ad una quantità fisica, la carica elettrica, diversa dalla gravità, la massa, così che non sia possibile una diretta comparazione con la stessa. Notare che la gravità è una forza estremamente debole è, dal punto di vista delle unità naturali, come paragonare mele ad arance. Vero che la forza elettrostatica repulsiva tra due protoni (soli nello spazio) bissa la forza gravitazionale tra gli stessi, ma ciò è dovuto al fatto che la carica dei protoni è circa l'unità naturale della carica, ma la massa del protone è ben distante dall'unità naturale della massa.

Le unità di Planck hanno il vantaggio di semplificare molte equazioni fisiche, rimuovendo i fattori di conversione. Per questo motivo, sono molto usate nella ricerca nella teoria dei quanti.

Indice

1 Le principali equazioni fisiche usando le unità naturali
2 Unità di Planck: unità fondamentali
3 Unità di Planck : unità derivate
4 Discussione

[modifica] Le principali equazioni fisiche usando le unità naturali

Nome	Equazione	In unità di Planck
Legge di gravitazione universale di Newton	$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$	$F = \frac{m_1 m_2}{r^2}$
Equazione di Schrödinger	$- \frac{\hbar^2}{2m} \operatorname{\Delta} \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)$	$- \frac{1}{2m} \operatorname{\Delta} \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)$
Energia di un fotone o di una particella d'impulsione ${ \omega } \$	${ E = \hbar \omega } \$	${ E = \omega } \$
La celebre formula E=mc² di Einstein	${ E = m c^2} \$	${ E = m } \$
Equazione del campo gravitazionale di Einstein (Relatività generale)	${ G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \$	${ G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \$
Definizione della temperatura per l’energia d’una particella per grado di libertà	${ E = \frac{1}{2} k T } \$	${ E = \frac{1}{2} T } \$
Legge di Coulomb	$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$	$F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$
Equazioni di Maxwell	${div}E = \frac{1}{\epsilon_0}\rho$ ${div}B = \mathbf{B} = 0 \$ $\vec{rot}E = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$ $\vec{rot}B = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$	${div}E = 4 \pi \rho \$ ${div}B = 0 \$ $\vec{rot}E = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$ $\vec{rot}B = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

[modifica] Unità di Planck: unità fondamentali

Dimensione	Formula	Valore, nel Sistema SI
Lunghezza di Planck	Lunghezza (L)	$l_{p}= \sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}\;$	1.616 × 10^-35 m
Massa di Planck	Massa (M)	$m_{p} = \sqrt{c\hbar /G}\;$	2.177 × 10^-8 kg
Tempo di Planck	Tempo (T)	$t_{p} = \frac{l_{p}}{c} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}\;$	5.391 × 10^-44 s
Temperatura di Planck	temperatura (ML²T^-2/k)	$T_{p} = \frac{m_{p} c^2}{k} = \frac{\sqrt{c^5 \frac{\hbar}{G}}}{k}$	1.415 × 10³² K
Carica di Planck	Carica elettrica (Q)	$q_p = \sqrt{c \hbar 4 \pi \varepsilon_0 }\;$	1.875 × 10^-18 C

Le tre costanti della fisica sono espressi in questo modo semplicemente, mediante l'uso delle unità fondamentali di Planck:

$c = \frac{l_P}{t_P}$

$\hbar \ = \frac{m_Pl^2_P}{t_P}$

$G = \frac{l^3_P}{m_Pt^2_P}$

[modifica] Unità di Planck : unità derivate

Dimensione	Formula	Valore, nel Sistema SI
Forza di Planck	Forza (MLT^-2)	$F_p = \frac{m_p l_p}{t_p^2} = \frac{c^4}{G}\;$	1.210 × 10⁴⁴ N
Energia di Planck	Energia (ML²T^-2)	$E_p = F_p l_p = c^2\sqrt{\frac{c \hbar}{G}}$	10¹⁹ GeV = 1.956 × 10⁹ J
Potenza di Planck	Potenza (ML²T^-3)	$P_p = \frac{E_p}{t_p} = \frac{c^5}{G}\;$	3.629 × 10⁵² W
Densità di Planck	Densità (ML^-3)	$\rho_p = \frac{m_p}{l_p^3} = \frac{c^5}{\hbar G^2}\;$	5.1 × 10⁹⁶ kg/m³
Frequenza angolare di Planck	Frequenza (T^-1)	$\omega_p = \frac{1}{t_p} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}}\;$	1.855 × 10⁴³ rad/s
Pressione di Planck	pressione (ML^-1T^-2)	$p_p = \frac{F_p}{l_p^2} = \frac{c^{7}}{\hbar G^2}\;$	4.635 × 10¹¹³ Pa
Corrente di Planck	Corrente elettrica (QT^-1)	$I_p = \frac{q_p}{t_p} = \sqrt{\frac{c^6 4 \pi \varepsilon_0}{G}}\;$	3.479 × 10²⁵ A
Tensione di Planck	Tensione (ML²T^-2Q^-1)	$V_p = \frac{E_p}{q_p} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \varepsilon_0}}\;$	1.0432 × 10²⁷ V
Resistenza di Planck	Resistenza elettrica (ML²T^-1Q^-2)	$Z_p = \frac{V_p}{I_p} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi}\;$	2.9986 × 10¹ Ω

[modifica] Discussione

Alle "scale di Planck" di lunghezza, tempo, densità o temperatura, si devono considerare sia gli effetti della meccanica quantistica che della relatività generale. Sfortunatamente ciò richiede una teoria della gravità quantistica, di cui ancora non conosciamo la forma.

La maggior parte delle unità sono o troppo piccole o troppo grandi per l'utilizzo pratico. Inoltre soffrono di incertezze nella misura di alcune delle costanti su cui sono basate, in particolare la costante gravitazionale ${G} \$ (che ha un'incertezza di 1 in 7000 parti).

La carica di Planck non fu originariamente definita da Planck. È una definizione di unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck, ed è utilizzata in alcune pubblicazioni. È interessante che la carica elementare, misurata in termini della carica di Planck, risulta essere

$e = \sqrt{\alpha} \ q_P = 0.085424543 \ q_P \,$

dove ${\alpha} \$ è la costante di struttura fine

$\alpha =\left ( \frac{e}{q_P} \right )^2 = \frac{e^2}{\hbar c 4 \pi \epsilon_0} = \frac{1}{137.03599911}$ .

La costante di struttura fine, adimensionale, può essere ritenuta avere il proprio valore per via della quantità di carica, misurata in unità naturali (carica di Planck), che gli elettroni, i protoni e altre particelle cariche hanno ricevuto dalla natura. Poiché la forza elettromagnetica tra due particelle è proporzionale alle cariche di ciascuna particella (che è proporzionale a $\sqrt{\alpha}$ , la forza elettromagnetica relativamente alle altre forze è proporzionale a $α$ .

L'impedenza di Planck risulta essere l'impedenza caratteristica del vuoto, $Z_0 \$ divisa per $4π$ . Questo fattore deriva dal fatto che la costante della forza di Coulomb, $1 / (4πε 0)$ , è normalizzata a 1 nella legge di Coulomb, così come viene fatto nelle unità cgs, invece che porre a 1 la permittività del vuoto $\epsilon_0 \$ . Questo, insieme al fatto che la costante gravitazionale $G \$ è normalizzata a 1 (invece che $4 \pi G \$ o $8 \pi G \$ o $16 \pi G \$ ), può essere considerata una definizione arbitraria e forse non ottimale nella prospettiva di definire le unità più naturali della fisica come unità di Planck.

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