テータ関数

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以下の関数をヤコビのテータ関数（てーたかんすう）という。但し、 $\image\tau>0$ とする。

$\begin{align}\vartheta_1(v;\tau) &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})}} &=2\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\left(e^{{\pi}i{\tau}}\right)^{{(n+\frac{1}{2})}^2}\sin(2n+1){\pi}v}\\ \end{align}$

$\begin{align}\vartheta_2(v;\tau) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})v}} &=2\sum_{n=0}^{\infty}{\left(e^{{\pi}i{\tau}}\right)^{{(n+\frac{1}{2})}^2}\cos(2n+1){\pi}v}\\ \end{align}$

$\begin{align}\vartheta_3(v;\tau) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}inv}} &=1+2\sum_{n=1}^{\infty}{\left(e^{{\pi}i{\tau}}\right)^{n^2}\cos2n{\pi}v}\\ \end{align}$

$\begin{align}\vartheta_4(v;\tau) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}in(v+\frac{1}{2})}} &=1+2\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\left(e^{{\pi}i{\tau}}\right)^{n^2}\cos2n{\pi}v}\\ \end{align}$

これらの関数は、 $v$ の関数と見た場合には準二重周期を持ち楕円関数に関係し、 $τ$ の関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。文脈から $v$ 或いは $τ$ が明らかな場合は $\vartheta_i(v)$ 或いは $\vartheta_i(\tau)$ と書き、更に $\vartheta_i=\vartheta_i(0,\tau)$ と書く。文献によっては $τ$ の代わりに $q = e π i τ$ を用いることもある。また、特にMathematica関係であるが、 $v$ の代わりに $π v$ を用いることがある。なお、英語版Wikipediaはテータ関数に関して独自の記号を採用しているが、次のように対応する。

$\vartheta(v;\tau)=\vartheta_{00}(v,\tau)=\vartheta_3(v,\tau)$

$\vartheta_{01}(v;\tau)=\vartheta_4(v,\tau)$

$\vartheta_{10}(v;\tau)=\vartheta_2(v,\tau)$

$\vartheta_{11}(v;\tau)=-\vartheta_1(v,\tau)$

[編集] 準二重周期

テータ関数は準二重周期を持つ。

$\begin{align}\vartheta_1(v+1;\tau) &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})}}\\ &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+{\pi}i}}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})}}\\ &=-\vartheta_1(v;\tau)\\ \end{align}$

$\vartheta_2(v+1;\tau)=-\vartheta_2(v;\tau)$

$\vartheta_3(v+1;\tau)=\vartheta_3(v;\tau)$

$\vartheta_4(v+1;\tau)=\vartheta_4(v;\tau)$

$\begin{align}\vartheta_1(v+\tau;\tau) &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})\tau}}\\ &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+1+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+1+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-{\pi}i{\tau}-2{\pi}i(v+\frac{1}{2})}}\\ &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-{\pi}i{\tau}-2{\pi}i(v+\frac{1}{2})}}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-{\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}}\\ &=-e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_1(v;\tau) \end{align}$

$\vartheta_2(v+\tau;\tau)=e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_2(v;\tau)$

$\vartheta_3(v+\tau;\tau)=e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_3(v;\tau)$

$\vartheta_4(v+\tau;\tau)=-e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_4(v;\tau)$

[編集] 無限乗積表示と零点

ヤコビの三重積の公式により、

$\begin{align} \vartheta_1(v;\tau) &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+1/2\right)^2}e^{2{\pi}i(n+1/2)(v+1/2)}}\\ &=-ie^{{\pi}i{\tau}/4}e^{{\pi}iv}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2}e^{{\pi}i{\tau}n+2{\pi}ivn+{\pi}in}}\\ &=-ie^{{\pi}i{\tau}/4}e^{{\pi}iv}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{(2m-2){\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=-ie^{{\pi}i{\tau}/4}e^{{\pi}iv}(1-e^{-2{\pi}iv})\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\sin{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\sin{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-2e^{2m{\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)}\\ \end{align}$

$\begin{align} \vartheta_2(v;\tau) &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\cos{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\cos{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+2e^{2m{\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)}\\ \end{align}$

$\begin{align} \vartheta_3(v;\tau) &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+2e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)}\\ \end{align}$

$\begin{align} \vartheta_4(v;\tau) &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-2e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)}\\ \end{align}$

$| e 2 m π i τ | < 1$ であるから $\vartheta_3(v;\tau)$ の零点は

$\begin{align} \cos{2{\pi}v}&=-\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}}}{2}\\ \cos{2{\pi}v}&=\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+{\pi}i}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}-{\pi}i}}{2}\\ 2{\pi}v&=\left((2m-1){\pi}{\tau}+{\pi}\right)\pm2{\pi}n\\ v&=\frac{2n'+1}{2}+\frac{2m'+1}{2}\tau \end{align}$

である。他の関数の零点も同様にして求められる。

$\begin{align} &\vartheta_1(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=n+m\tau\\ &\vartheta_2(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=\frac{2n+1}{2}+m\tau\\ &\vartheta_3(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=\frac{2n+1}{2}+\frac{2m+1}{2}\tau\\ &\vartheta_4(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=n+\frac{2m+1}{2}\tau\\ \end{align}$

[編集] テータ定数

$v = 0$ のときのテータ関数の値をテータ定数(theta constant)、或いはドイツ語でthetanullwerteという。これは定数といいながら実は $τ$ の関数である。

$\begin{align} \vartheta_2=\vartheta_2(0;\tau) &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ \end{align}$

$\begin{align} \vartheta_3=\vartheta_3(0;\tau) &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ \end{align}$

$\begin{align} \vartheta_4=\vartheta_4(0;\tau) &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ \end{align}$

$\vartheta_1=\vartheta_1(0;\tau)=0$ であるから、代わりに導関数を用いる。

$\begin{align} \vartheta_1'&=\left[\frac{d}{dv}\vartheta_1(v;\tau)\right]_{v=0}\\ &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\pi\cos(0)\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^3}+2e^{{\pi}i{\tau}/4}\sin(0)\frac{d}{dv}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=2{\pi}e^{{\pi}i{\tau}/4}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^3}\\ \end{align}$

$c=\pi\vartheta_2\vartheta_3\vartheta_4/\vartheta_1'$ について

$\begin{align} c&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1+e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1+e^{(4m-2){\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1+e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1+e^{(4m-2){\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1-e^{(4m-2){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ \end{align}$

これを繰り返せば指数が無限に大きくなるので $c = 1$ である。.

楕円関数との関係から

$\begin{align}k^2 &=\operatorname{ns}^2(K+iK') &=\left(\frac{\vartheta_2\vartheta_4(1/2+\tau/2;\tau)}{\vartheta_3\vartheta_1(1/2+\tau/2;\tau)}\right)^2 &=\left(\frac{\vartheta_2}{\vartheta_3}\right)^4 \end{align}$

$\begin{align}1-k^2 &=\operatorname{dn}^2(K) &=\left(\frac{\vartheta_4\vartheta_3(1/2;\tau)}{\vartheta_3\vartheta_4(1/2;\tau)}\right)^2 &=\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\right)^4 \end{align}$

$\left(\frac{\vartheta_2}{\vartheta_3}\right)^4+\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\right)^4=1$

$\left(\vartheta_2\right)^4+\left(\vartheta_4\right)^4=\left(\vartheta_3\right)^4$

[編集] ヤコビの虚数変換式

次の恒等式をヤコビの虚数変換式という。

$\vartheta_3\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_3\left(v,\tau\right)$

$\vartheta_1\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=i\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_1\left(v,\tau\right)$

$\vartheta_2\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_4\left(v,\tau\right)$

$\vartheta_4\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_2\left(v,\tau\right)$

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