ヤコビの虚数変換式

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数学においてヤコビの虚数変換式(Jacobi's imaginary transformation)とはテータ関数に関する次の恒等式をいう。

$\vartheta_3\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_3\left(v,\tau\right)$

$\vartheta_1\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=i\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_1\left(v,\tau\right)$

$\vartheta_2\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_4\left(v,\tau\right)$

$\vartheta_4\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_2\left(v,\tau\right)$

この恒等式の日本語の呼称は定まっていず、ヤコビの虚数変換式、ヤコビのモジュラー変換式、或いは単にヤコビ変換式とも呼ばれる。テータ関数は二変数の関数であるが、第二変数を純虚数の定数として第一変数に着目すれば「虚数変換式」という呼称が的を射て、第一変数を定数として第二変数に着目すれば「モジュラー変換式」という呼称が的を射る。

[編集] 楕円関数の虚数変換

ヤコビの楕円関数はテータ関数の比により表される。楕円関数の周期を $K, i K'$ とすると

$\tau=\frac{iK'}{K}$

$k=\left(\frac{\vartheta_2(0,\tau)}{\vartheta_3(0,\tau)}\right)^2$

$\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_1(u/2K,\tau)}{\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(u/2K,\tau)}$

$\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\vartheta_4(0,\tau)\vartheta_2(u/2K,\tau)}{\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(u/2K,\tau)}$

テータ関数の虚数変換式により

$\tau'=-\frac{1}{\tau}=\frac{iK}{K'}$

$k'=\left(\frac{\vartheta_2(0,\tau')}{\vartheta_3(0,\tau')}\right)^2$

$\operatorname{sn}(iu,k)=\frac{\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_1(iu/2K,\tau)}{\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(iu/2K,\tau)}=\frac{i\vartheta_3(0,\tau')\vartheta_1(u/2K',\tau')}{\vartheta_4(0,\tau')\vartheta_2(u/2K',\tau')}=i\frac{\operatorname{sn}(u,k')}{\operatorname{cn}(u,k')}$

$\operatorname{cn}(iu,k)=\frac{\vartheta_4(0,\tau)\vartheta_2(iu/2K,\tau)}{\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(iu/2K,\tau)}=\frac{\vartheta_2(0,\tau')\vartheta_4(u/2K',\tau')}{\vartheta_4(0,\tau')\vartheta_2(u/2K',\tau')}=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k')}$

となり、虚数変数の楕円関数を得る。

[編集] 証明

$\vartheta_3(v,\tau)$ の虚数変換式の両辺の比を $f (v,τ)$ して恒等的に $f (v,τ) = 1$ であることを証明する。テータ関数の二重周期性により

$f(v,\tau) =\frac{\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_3\left(v,\tau\right)}{\vartheta_3\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)}$

$f(v+1,\tau) =\frac{\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau+2{\pi}iv/\tau+{\pi}i/\tau}\vartheta_3\left(v+1,\tau\right)}{\vartheta_3\left(\frac{v}{\tau}+\frac{1}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)} =\frac{\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau+2{\pi}iv/\tau+{\pi}i/\tau}\vartheta_3\left(v,\tau\right)}{e^{{\pi}i/\tau+2{\pi}iv/\tau}\vartheta_3\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)} =f(v,\tau)$

$f(v+\tau,\tau) =\frac{\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}i(v+\tau)^2/\tau}\vartheta_3\left(v+\tau,\tau\right)}{\vartheta_3\left(\frac{v}{\tau}+1,-\frac{1}{\tau}\right)} =\frac{\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau+2{\pi}iv+{\pi}i\tau}e^{-{\pi}i\tau-2{\pi}iv}\vartheta_3\left(v,\tau\right)}{\vartheta_3\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)} =f(v,\tau)$

であるから、 $f (v,τ)$ は $v$ の関数として二重周期を持つ。また、テータ関数は極を持たず、零点は

$\vartheta_3\left(\frac{1\pm{2m}}{2}+\frac{(1\pm{2n})\tau}{2},\tau\right)=0$

$\vartheta_3\left(\frac{1\pm{2m}}{2}-\frac{1\pm{2n}}{2\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=0$

であるから、 $f (v,τ)$ は $v$ の関数として複素平面全体で有界である。従って、リュービュの定理により $v$ には依存しない。

$\begin{align}f\left(\frac{1}{2},\tau\right) &=\frac{\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}i/4\tau}\vartheta_3\left(\frac{1}{2},\tau\right)}{\vartheta_3\left(\frac{1}{2\tau},-\frac{1}{\tau}\right)}=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{n^2{\pi}i\tau+n{\pi}i}}}{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{n^2{-\pi}i/\tau+n{\pi}i/\tau}e^{-{\pi}i/4\tau}}}\\ &=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}}}}{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{-(2n-1)^2{\pi}i/4\tau}}}\\ &=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}}}}{2\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(2n-1)^2{\pi}i/4\tau}}}\\ \end{align}$

$\begin{align}f\left(\frac{1}{4},\frac{\tau}{4}\right) &=\frac{\sqrt{-i(\tau/4)}e^{{\pi}i/4\tau}\vartheta_3\left(\frac{1}{4},\frac{\tau}{4}\right)}{\vartheta_3\left(\frac{1}{\tau},-\frac{4}{\tau}\right)} =\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{n^2{\pi}i\tau/4+n{\pi}i/2}}}{2\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{-4n^2\pi}i/\tau+2n{\pi}i/\tau}e^{-{\pi}i/4\tau}}}\\ &=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{i^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}/4}}}{2\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{-(2n-1/2)^2{\pi}i/\tau}}} =\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{i^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}/4}}}{2\left(\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(2n-1/2)^2{\pi}i/\tau}}+\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(-2n+1-1/2)^2{\pi}i/\tau}}\right)}\\ &=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{i^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}/4}}}{2\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(n-1/2)^2{\pi}i/\tau}}}\\ \end{align}$

分子の $n$ が奇数の項は正負で打ち消しあうから偶数の $n$ を $2 n$ に改める。

$\begin{align}f\left(\frac{1}{4},\frac{\tau}{4}\right) &=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{i^{2n}e^{(2n)^2{\pi}i{\tau}/4}}}{2\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(n-1/2)^2{\pi}i/\tau}}} =\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}}}}{2\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(n-1/2)^2{\pi}i/\tau}}} =f\left(\frac{1}{2},\tau\right)\\ \end{align}$

先に示したように $f (v,τ)$ は $v$ に依存しないので

$f\left(v,\tau\right)=f\left(v,\frac{\tau}{4}\right)=\lim_{n\to\infty}f\left(v,\frac{\tau}{4^n}\right)=\lim_{\tau'\to0}f\left(v,\tau'\right)=f(v,0)$

であり、 $f (v,τ)$ は $τ$ にも依存しない定数である。その値は

$f(v,\tau)=f(0,i)=\frac{\vartheta_3\left(0,i\right)}{\vartheta_3\left(0,i\right)}=1$

である。

"http://ja.wikipedia.org../../../%E3%83%A4/%E3%82%B3/%E3%83%93/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E3%81%AE%E8%99%9A%E6%95%B0%E5%A4%89%E6%8F%9B%E5%BC%8F.html" より作成

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