ユニタリ作用素

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数学、特に関数解析学におけるユニタリ作用素（ユニタリさようそ、Unitary operator）とは、複素ヒルベルト空間上の線形作用素の一種で、全単射かつ計量（metric, 長さや角度、内積やノルム）を変えないものをさす。とくに全単射でない場合は等距離作用素といい、区別される。物理学の文脈ではユニタリ演算子（ユニタリえんざんし）と呼ばれる。

[編集] 定義

エルミート内積 (·, ·) を持つヒルベルト空間（必ずしも有限次元でない複素計量ベクトル空間） H 上の全単射な線型作用素 U が内積を保つとき、すなわち φ, ψ が H のベクトルであれば常に

(U(φ), U(ψ))=(φ, ψ)

が成り立つとき、U をユニタリ作用素という。これはエルミート共役をとる対合 * を用いて

U ^* U = UU ^* = I_d

と書いても同じことである。但しI_dは恒等作用素である。

[編集] 例

ユニタリ行列：

有限次元複素計量ベクトル空間 V と通常のエルミート内積を考えると、V 上の線型変換は n 次の正方行列として表される。また、エルミート共役は変換行列の随伴行列として得られる。したがって、変換 M がユニタリであるとは、

M^*M = M M^* = E

を満たすような行列のことである（ただし、 E は n 次の単位行列）。これをユニタリ行列と呼ぶ。実ユニタリ行列は実直交行列である。

[編集] 性質

ユニタリ演算子の固有値（あるいはユニタリ行列の行列式の値）は全て、絶対値が 1 の複素数となる。

これは、ユニタリ演算子を行列として固有値問題を考え、固有ベクトルを φ, 固有値を ε とすると、

となる。この時、上式の両辺のエルミート共役をとると左辺は、

となり（U^*U = 1より）、右辺は、

となる（ε と φ は交換可能）。このため左辺＝右辺のためには、ε^*ε = 1でなければならず、固有値の絶対値は 1 となる。