全単射

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数学において、全単射（ぜんたんしゃ）あるいは双射（そうしゃ）(bijective function, bijection) とは、写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。

[編集] 定義

写像 f: A → B に対し、二つの条件

全射性: f(A) = B
単射性: 任意の A の元 a₁, a₂ について、a₁ ≠ a₂ ならば f(a₁) ≠ f(a₂)

がともに成り立つとき、写像 f は全単射 (bijective) であるという。この用語はブルバキによる。

全射であり単射でない	単射であり全射でない
全単射	全射でも単射でもない

[編集] 注意

同じことを f は一対一上への写像 (one-to-one onto mapping)、一対一対応 (one-to-one correspondence) あるいは単に一対一 (one-to-one) であるともいうが、紛らわしいのでここでは使用しない。

[編集] 性質

全単射は逆写像を持つ。実際、f: A → B が全単射であれば、B の任意の元 b に対し、f の全射性から f(a) = b となる a が存在するが、f の単射性からこのような a は b に対してただ一つしかないので、写像 g: B → A; f(a) → a が作れる。
二つの全単射が合成できるならば、その合成写像も全単射である。
- 集合 X 上の全単射全体の成す集合を S_X とすると、S_X は写像の合成に関して群を成す。これを X 上の置換群あるいは対称群と呼ぶ。