分位数

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分位数（ぶんいすう）、分位点（ぶんいてん）、分位値（ぶんいち）、クォンタイル (quantile) は、統計の代表値の1種である。

実数 $q,\ 0 \le q \le 1$ に対し、q 分位数 (q-quantile) は、分布を $q : 1 - q\,$ に分割する値である。

ある種の正の整数 $m$ に対し、分布を $m$ 等分する $m - 1$ 個の値、つまり、 $i = 1, \cdots, m - 1$ に対する $i / m$ 分位数を、m 分位数（ただし $m$ は漢数字）という。 $i = 1, \cdots, m - 1$ 番目の m 分位数を第 i m 分位数といい、また、 $m$ 等分された分布の $k = 1, \cdots, m$ 番目の部分を、第 k m 分位、または単に第 k 分位という。

[編集] 定義

[編集] 変量統計における分位数

$n$ 個のデータ $x$ に対する q 分位数 $Q q$ は、昇順にソートしたデータを $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_n$ とすると、

$Q_q = x(1 - q + q n)\,$

$x(t) = \begin{cases} x_t, & \mbox{if } t \in \mathbb{N} \\ (\lceil t \rceil - t) x_{\lfloor t \rfloor} + (t - \lfloor t \rfloor) x_{\lceil t \rceil}, & \mbox{if } t \notin \mathbb{N} \end{cases}$

と定義される。ここで、 $\lfloor \cdot \rfloor$ は床関数、 $\lceil \cdot \rceil$ は天井関数、 $\mathbb{N}$ は自然数の集合である。

関数 $x(t),\ 1 \le t \le n$ は、数列 $x_{1, \cdots, n}$ の線形補間による実数関数への拡張である。関数 $x(\cdot)$ の引数 $1 - q + q n$ は、範囲 $[1, n]$ を $q : 1 - q\,$ に内分している。

[編集] 確率分布の分位数

1次元確率分布 $\varphi(x)$ に対する q 分位数 $Q q$ は、

$\int_{-\infty}^{Q_q} \varphi(x)\, dx \ge q,\ \int_{Q_q}^\infty \varphi(x)\, dx \ge q$

を満たす値として定義される。この式は、累積密度関数 $Φ(x)$ または確率 $P (X)$ を使って、

$\int_{-\infty}^{Q_q} d\Phi(x)\ \ge q,\ \int_{Q_q}^\infty d\Phi(x)\ \ge q$ または

$P(X \le Q_q) \ge q,\ P(X \ge Q_q) \ge q$

とも表せる。

[編集] 特別な分位数

いくつかの q に対する q 分位数には、特別な名称がある。

[編集] 中央値

詳細は中央値を参照

1 / 2 分位数を、中央値、メディアン (median)という。中央値は、平均値に代わり、分布を代表する値として使われる。

[編集] 四分位数

$q / 4$ 分位数を、第 q 四分位数、第 q 四分位点、第 q 四分位値、第 q ヒンジ (quartile, hinge) という。1 / 4 分位数（第1四分位数）を下側四分位数、3 / 4 分位数（第3四分位数）を上側四分位数ともいう。

単に四分位数といったばあい、第1・第3四分位数を表す。第2四分位数は中央値である。これらは、分布のばらつきを表すのに使われる。

第1・第3四分位数の差 $Q_{3 / 4} - Q_{1 / 4}\,$ は、四分位数範囲 (IQR) といい、分布のばらつきの代表値である。分布の代表値として平均値の代わりに中央値を使うときは、IQRを標準偏差や分散の代わりに使う。中央値同様、頑強で、外れ値や極端に広い裾野の影響を受けにくい。

$I Q R / 2$ を四分位数偏差、 $IQR / IQR_{N(0, 1)} \approx IQR \times 0.7413$ を正規四分位数範囲といい、IQRの代わりに使うことがある。ここで、 $IQR_{N(0, 1)} \approx 1.3490$ は、標準正規分布のIQRである。正規分布の正規四分位数範囲は、標準偏差に等しい。なお一般には、係数0.7413が近似値に使われることが多い。

[編集] 三分位数・五分位数・十分位数

$q / 3$ 分位数を、第 q 三分位数、第 q 三分位点、第 q 三分位値 (tertile) という。

$q / 5$ 分位数を、第 q 五分位数、第 q 五分位点、第 q 五分位値 (quintile) という。

$q / 10$ 分位数を、第 q 十分位数、第 q 十分位点、第 q 十分位値 (decile) という。

[編集] パーセンタイル

$q / 100$ 分位数を、q パーセンタイル、（第）q 百分位数、（第）q 百分位点、（第）q 百分位値、q パーセント点、q %点 (percentile) という。

$1 - q / 100$ 分位数を上側 q パーセント点という。これと対比するときには、 $q / 100$ 分位数は下側 q パーセント点という。また、平均が0の対称分布に対し、 $1 / 2 + q / 200$ 分位数を両側 q パーセント点という。このとき、絶対値が両側 q パーセント点以内に、分布の q %が含まれている。

[編集] 最大値・最小値

0分位数は最小値、1分位数は最大値である。

[編集] 五数要約

詳細は箱ひげ図を参照

分布の特徴を最大値、最小値、中央値、第1・第3四分位数の5つの値、つまり、0, 0.25, 0.5, 0.75, 1分位数で要約することを、五数要約という。五数要約は、しばしば箱ひげ図で図示される。

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カテゴリ: 統計量 | 数学に関する記事

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