標準偏差

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標準偏差（ひょうじゅんへんさ、Standard Deviation）は、統計値や確率変数の散らばり具合を表す数値のひとつで σ や s で表す。

二乗平均平方根 (RMS) と同じものであると誤解される事が多いため、注意が必要である。

[編集] 統計値の標準偏差

例として、n 人のクラスで試験が行われたとする。それぞれの点数を x₁, x₂, ..., x_n とすると相加平均は、

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$

この時、

$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$

を分散（正確には標本分散）といい、母集団が十分に大きく標本数が有限の場合、分散 σ² の推定値として

$\sigma'\,^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$

を不偏分散という。不偏分散の期待値は母集団の分散に等しい。

この分散または不偏分散の正の平方根が標準偏差である。さらに、試験の点数を平均が 50、標準偏差が 10 に対応するように変換したものを偏差値という。

例えば、平均 60 点で標準偏差が 20 の試験で 70 点をとった場合、偏差値は 55 である。これの計算式は次の通り

[( 得点70 －平均点60 ) ×10 ÷ 標準偏差20 ]＋50 ＝偏差値55

※統計の教科書によっては $n - 1$ で割ったものが標本分散という名称になっており（例：東京大学教養学部統計学教室編『統計学入門』ISBN 4130420658）、一般的に用語が混乱して使用されているため注意を要する。母集団平均が不明で標本平均を代わりに使用する場合には、期待値が母集団分散となる上記の不偏分散を使用する事が多い。