命題

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命題（めいだい、Proposition）とは、意味に不明瞭なところがない文章の事。論理学の用語である。

例えば「私の身長は160cm以上である」という文章は意味的に不明瞭なところがみあたらないので命題であるといえるが、「ワシントンは偉人である」という文章は、「偉人」という言葉の定義が不明瞭なので命題とはいわない。

数学や記号論理学では「命題」という言葉はより厳密に用いられる。詳しくは証明の項を参照されたい。

なお一般に「至上命題」という言葉がよく用いられるが、以上の定義のように、命題そのものの相互間には上下関係はないため、この用法は誤用である。[1][2]

[編集] 真偽

正しい事を真（しん、true）といい、そうでない事を偽（ぎ、false）という。具体的なセッティングを決めると、各命題のそのセッティングでの真偽が決まる。

誤解されがちだが、命題そのものに真偽が割り振られているわけではない。真偽は命題を具体的なセッティング(専門用語で「モデル」)に当てはめたときにはじめて決まる。たとえば「犬の体重が50キロである」という命題の真偽は、「犬」がどの犬なのかというセッティングを決めてはじめて決まる。「犬の体重が50キロである」という命題そのものに真偽があるわけではない。

同様に「AならばB」という命題も、AとBが具体的になんであるのかを決めることによって、真偽が決まる。

記号論理学では、A、Bといった各要素にどのようなものを割り当てても必ず真になる命題の事を恒真命題、もしくはトートロジーといい、その逆にA、Bといった各要素にどのようなものを割り当てても必ず偽になる命題の事を恒偽命題という。

トートロジーはどのようなセッティングでも必ず真であるので、Aがトートロジーである事を慣習的に「Aは真である」というが、この言い方は厳密には正しくない。

また、文章の前後関係からセッティングが一意に決まる場合にも、「Aはセッティング***で真である」というべき所を慣習的に「Aは真である」というが、これもやはり厳密ないい方ではない。

なお、考えうるセッティングが無限にある場合もあるので、与えられた命題がトートロジーであるかどうかを有限時間で判定できるとは限らない。命題論理や述語論理の命題は全て有限時間で判定可能である(命題論理と述語論理に関する完全性定理)が、自然数論の命題の中にはそうではないもの(ゲーデル・センテンス)もある(ゲーデルの不完全性定理)。