素数階乗

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階乗（黄色）と素数階乗（赤）の値の推移

素数階乗（そすうかいじょう）は n# という記号で表わされる演算もしくは自然数 n の関数であり、2以上n以下の素数の総乗をとったものである（ただしn≧2）。例えば10以下の素数は7,5,3,2であるので、10#=7×5×3×2=210 となる。このように計算された210のような素数階乗数をユークリッド数ともよぶ。またn番目の素数 p_n の素数階乗を p_n# で表わす。例：3番目の素数は5であるので、p₃# = 5# = 5×3×2=30

[編集] 数学的性質

5# 以上の素数階乗数は全て一の位が0であり、十の位は1,3,7,9のいずれかに限られる。

5#=30以上の数に、7以上の素数（1の位に5を含まない奇数）を掛けても、10の位が5や偶数になることは無い。

素数は無限にあるかという命題を証明するのに素数階乗が使われることがある。

略解例：最大の素数の存在を仮定し、それをp_maxとおくと p_max#+1 は p_max以下の約数をもたない。したがって p_max#+1 は p_max より大きな整数で素因数分解されることになるが、これはp_maxを最大の素数とした仮定に反するので最大の素数は存在しない。

このように背理法を用いて最大の素数の存在を否定する方法は紀元前から知られていた。

以下は、簡単に説明するために便宜的に13を最大の素数とした例

p_max　=　13

p_max#+1　=　13#+1　=　30031　=　59 × 509

上記のように 13#+1（p_max#+1）は59と509で素因数分解されるが、59も509も13（p_max）以下の数ではなく、13（p_max）を最大の素数とした仮定に反する。

全ての高度合成数は素数階乗数の累乗数の積で表わされる。例：720 = 2²×6¹×30¹

[編集] 最初の20個の素数階乗数p_n#

p₁#=2#=2
p₂#=3#=6
p₃#=5#=30
p₄#=7#=210
p₅#=11#=2310
p₆#=13#=30030
p₇#=17#=510510
p₈#=19#=9699690
p₉#=23#=223092870
p₁₀#=29#=6469693230
p₁₁#=31#=200560490130
p₁₂#=37#=7420738134810
p₁₃#=41#=304250263527210
p₁₄#=43#=13082761331670030
p₁₅#=47#=614889782588491410
p₁₆#=53#=32589158477190044730
p₁₇#=59#=1922760350154212639070
p₁₈#=61#=117288381359406970983270
p₁₉#=67#=7858321551080267055879090
p₂₀#=71#=557940830126698960967415390