파울리 행렬
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[편집] 정의
파울리 행렬(Pauli matrix)은 다음과 같은 3개의 행렬로 이루어져 있다.
이들은 에르미트 행렬이다
이들은 다음과 같은 연산 법칙을 만족한다.
σ1σ2 = iσ3
그리고 1,2,3을 2,3,1이나 3,1,2로 바꾼 조합도 마찬가지를 만족한다. 따라서, 이들에 각각 허수단위 i를 곱하면 사원수의 연산법칙이 된다. 이를 더 간단하게 쓰면
σiσj = δijI + εijkσk
여기에서 I는 2x2 단위행렬이며, εijk 완전히 반대칭인 텐서이다.
[편집] 리대수의 발생원
파울리 행렬은 A1 또는 su(2)의 리대수의 발생원이다, 즉
[σi / 2,σj / 2] = 2εijkσk / 2
이므로 구조상수가 εijk이다.
[편집] 클리포드 대수의 발생원
파울리 행렬은 클리포드 대수의 발생원이며, 다음과 같은 디락-클리포드 연산법칙을 만족한다
{σi,σj} = δij
따라서 I와 함께 2x2의 에르미트 행렬의 기저가 된다. 일반적인 n차원의 클리포드 행렬을 이루는 기저는 파울리 행렬을 직화곱으로 언제나 표현할 수 있다.
