Матриці Паулі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Матриці Паулі - це три $2 \times 2$ матриці - оператори спіну для часток із спіном 1/2.

$\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$

[ред.] Властивості

Матриці Паулі - ермітові оператори.

Квадрат будь-якої із них є одиничною матрицею.

Слід будь-якої із матриць Паулі дорівнює нулю.

[ред.] Комутаційні співвідношення

Комутаційні співвідношення для матриць Паулі схожі на комутаційні співвідношення для оператора кутового моменту

[σ x,σ y] = 2 i σ z

[σ y,σ z] = 2 i σ x

[σ z,σ x] = 2 i σ y

[ред.] Власні значення і власні вектори

Найважливішим для практичного застосування є оператор $σ z$ . Його власні значення $\pm 1$ , а власні вектори

$\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ та $\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ .

[ред.] Вклад у гамільтоніан

Із врахуванням взаємодії квантовомеханічної частки зі спіном 1/2 із магнітним полем гамільтоніан для частки записується у вигляді

$\hat{H} = \hat{H}_0 +g\mu_B \hat{\mathbf{\sigma}}\cdot\mathbf{H}$ ,

де g - g-фактор Ланде, $μ B$ - магнетон Бора, $\mathbf{H}$ - вектор напруженості магнітного поля, $\hat{H}_0$ - та частина гамільтоніана, яка не залежить від магнітного поля.

Якщо вибрати систему координат таким чином, щоб магнітне поле було направлене вздовж осі z, то гамільтоніан матиме вигляд

$\hat{H} = \hat{H}_0 +g\mu_B \hat{\sigma_z} H$ .

В такому випадку гамільтоніан частки комутує із оператором $σ z$ і матиме з ним спільні власні вектори. Тоді в магнітному полі енергетичні рівні частки із спіном 1/2 розщеплюватимуться на два з енергією $E_{n0} \pm g \mu_B H$ , де $E n 0$ - це вклад у енергію, зумовлений іншими не залежними від магнітного поля взаємодіями.