Матрицы Паули

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Матрицы Паули — это набор из трёх эрмитовых 2 × 2 матриц составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2 × 2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Вот эти матрицы:

$\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$

Вместо $σ 1,σ 2,σ 3$ иногда используют обозначение $σ x,σ y,σ z$ .

Часто также употребляют матрицу

$\sigma_0 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}.$

Матрицы Паули вместе с матрицей

σ 0

образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2 × 2(а не только матриц с нулевым следом).

Содержание

1 Свойства
- 1.1 Основные соотношения
- 1.2 Связь с алгебрами Ли
2 Применение в физике
3 Ссылки

[править] Свойства

[править] Основные соотношения

Эрмитовость и равенство нулю следа

$\begin{matrix} \sigma_i^\dagger &=& \sigma_i & \\ \operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \ i = 1, 2, 3 \end{matrix}$

$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_0= I$

где $I = σ 0$ единичная матрица.

Правила умножения матриц Паули

$\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3\,\!$

$\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2\,\!$

$\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1\,\!$

$\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i\mbox{ for }i\ne j\,\!$

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

$\sigma_i \sigma_j = i \epsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \cdot \sigma_0,\quad i = 1, 2, 3$ ,

где $δ i j$ — символ Кронекера, а ε_ijk — символ Леви-Чивита.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

$\begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\epsilon_{i j k}\,\sigma_k \\ \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot \sigma_0 \end{matrix}$

Детерминант матриц Паули равен -1.

[править] Связь с алгебрами Ли

Коммутационные соотношения матриц $i σ k$ совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2 × 2 может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц $i σ k$ . Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений 3-х мерного пространства, этим объясняется важность матриц Паули для физики.

[править] Применение в физике

В квантовой механике, iσ_j/2 представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений, для нерелятивистских частиц со спином ½. Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).

[править] Ссылки

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц (1989). Теоретическая физика III. Квантовая механика. М., «Наука». ISBN 5-02-014421-5.

Категории: Квантовая механика | Группы Ли

Матрицы Паули

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Свойства

[править] Основные соотношения

[править] Связь с алгебрами Ли

[править] Применение в физике

[править] Ссылки

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках