התמרת לפלס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

התמרת לפלס היא כלי מתמטי שהשימוש בו מקל מאוד על ניתוח ההתנהגות של מערכות לינאריות ללא תלות בזמן, כגון מעגלים חשמליים ומערכות מכניות ואופטיות. ההתמרה קרויה על-שמו של פייר סימון לפלס.

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 היסטוריה
3 הרחבה למספרים מרוכבים
4 סדר מעריכי של פונקציה
5 תכונות
6 התמרת לפלס של טורי חזקות
7 משפט הערך ההתחלתי
8 משפט הערך הסופי
9 טבלת התמרות לפלס
10 שימושים
11 ראו גם
12 לקריאה נוספת

[עריכה] הגדרה

את התהליך בו מבצעים התמרת לפלס לפונקציה $\ f$ מקובל לסמן $\ \mathcal{L}(f)$ . אם $\ f(t)$ היא פונקציה ממשית, נהוג לסמן את ההתמרה שלה ב- $\ F(s)$ , והיא מוגדרת לפי האינטגרל המסוים $F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt$ .

כאן $\ \int_{0^-}$ הוא סימון מקוצר ל- $\lim_{\epsilon \rightarrow +0} \int_{-\epsilon} \$ .

התמרת לפלס היא התמרה אינטגרלית: פונקציה המקבלת פונקציה (ממשית או מרוכבת) ומחזירה פונקציה מאותו סוג. ההתמרה היא טרנספורמציה לינארית ממרחב הפונקציות הממשיות לעצמו (למעשה, הטרנספורמציה מוגדרת רק בתנאים מסוימים, כפי שיתואר בהמשך). ייחודה בכך שהיא מקיימת את הזהות $\ \mathcal{L}(f')=s\cdot \mathcal{L}(f)-f(0)$ , וכך היא הופכת נגזרת לכפל במשתנה, תכונה המקלה על ניתוח של מערכות דינמיות לינאריות הקבועות בזמן. ההתמרה שימושית במיוחד בפתרון של משוואות דיפרנציאליות. בהנדסת חשמל מקובל לומר שהתמרת לפלס מעבירה ממישור הזמן למישור התדר. מישור לפלס הוא מישור התדר - מישור מדומה, שמשתמשים בו לפתרון משוואות דיפרנציאליות.

[עריכה] היסטוריה

התמרות אינטגרליות הוצגו לראשונה על ידי לאונרד אוילר שפתר בעזרת ההתמרות משוואות דיפרנציאליות רגילות לינאריות מסדר שני. לפלס עצמו מזכיר בכתביו את עבודתו של אוילר על התמרות אינטגרליות. היה זה שפיצר שהצמיד את שמו של לפלס לביטוי $F(s) = \int_a^b e^{st} f(t) dt$ שאוילר השתמש בו. בסוף המאה ה-19 הורחבה התמרת לפלס גם למישור המרוכב ולשני משתנים על ידי Poincaré, Pincherle, Abel, Picard. במאה ה-20 שוכללה התמרת לפלס על ידי החוקריםBateman, Bernstein, Doetsch, Heaviside, Bromwich.

[עריכה] הרחבה למספרים מרוכבים

כאמור, התמרת לפלס פועלת גם במישור המרוכב, והדרישה הממשית s>0 מוחלפת בדרישה המרוכבת Re(s)>0. נראה זאת בדוגמה הבאה:

$\mathcal{L}(e^{i\omega t} ) = \int_0^\infty {e^{ - st} e^{i\omega t} dt = } \lim_{M \to \infty } {{e^{(i\omega - s)M} } \over {i\omega - s}}|_0^M = {1 \over {s - i\omega }}$

השוויון האחרון מתקיים מכיוון ש:

$\lim_{M \to \infty } |e^{i\omega t} e^{-sM}| = \lim_{M \to \infty } e^{-Re(s)M} = 0 \quad , \quad Re(s) > 0$

באופן דומה ניתן להראות כי: $\mathcal{L}(e^{ - i\omega t} ) = \frac {1}{s + i\omega}$ . לכן, על פי הלינאריות של ההתמרה נקבל כי:

$\mathcal{L}(\cos \omega t) = \frac{\mathcal{L}(e^{i\omega t} ) + \mathcal{L}(e^{- i\omega t} )}{2} = \mathcal{L}(\frac {e^{i\omega t} + e^{- i\omega t} }{2}) = \frac {s}{s^2 + \omega ^2 }$ , ובדומה: $\mathcal{L}(\sin \omega t) = \frac{\omega}{s^2 + \omega ^2 }$ .

[עריכה] סדר מעריכי של פונקציה

נשאלת השאלה לאילו פונקציות קיימת התמרת לפלס. על פי ההגדרה, אם האינטגרל מתכנס אז ההתמרה קיימת, אבל קיים גם מדד עבור הפונקציה עצמה - הסדר המעריכי שלה:
לפונקציה $\ f(t)$ יש סדר מעריכי בגובה $\ \alpha$ אם קיימים קבועים $\ M>0, \alpha , t_0 \ge 0$ כך שלכל $\ t \ge t_0$ מתקיים $\ |f(t)| \le M e^{\alpha t}$ .
לדוגמה, הסדר המעריכי של $\ e^{at}$ הוא $\ a$ ( $\ a$ יכול להיות שלילי), הסדר המעריכי של $\ \sin {at}$ הוא 0 (כי נוכל לבחור $\ M$ מספיק גדול), ולפולינומים יש סדר מעריכי כלשהו גדול מ-0 (שוב, כי נוכל לבחור $\ M$ מספיק גדול, ובאינסוף אקספוננט "מנצח" פולינום). ל- $\ e^{t^2}$ לעומת זאת, לא קיים סדר מעריכי כי לא ניתן לחסום אותה כאמור עם אקספוננט.

ואז: אם $\ f(t)$ רציפה למקוטעין על חצי-הישר הימני, ומסדר מעריכי $\ \alpha$ אז קיימת לה התמרת לפלס לכל $\ Re(s) > \alpha$ (במקרה הממשי - $\ s>\alpha$ ). כלומר, האקספוננט $\ e^{-st}$ צריך "למשוך למטה" חזק יותר. יש לשים לב שבעוד שלכל פונקציה המקיימת את התנאים האמורים קיימת התמרת לפלס, קיימות פונקציות שאינן מקיימות תנאים אלו, ובכל זאת קיימת להן התמרה. לדוגמה, לפונקציה $\ f(t) = t e^{t^2} \sin{e^{t^2}}$ לא קיים סדר מעריכי אך קיימת לה התמרת לפלס לכל $\ Re(s) > 0$ .

[עריכה] תכונות

בהינתן שתי פונקציות $\ f(t)$ ו $\ g(t)$ , והתמרות הלפלס שלהן הן $\ F(s)$ ו- $\ G(s)$ בהתאמה,

$F(s) = \mathcal{L} \{ f(t) \}$

$G(s) = \mathcal{L} \{ g(t) \}$

מתקיימות התכונות הבאות:

כללי:
- ניתן להראות שהתמרת לפלס של כל פונקציה רציפה למקוטעין ובעלת סדר מעריכי, מתכנסת בהחלט ובמידה שווה.
- אם $\ f(t)$ רציפה למקוטעין על חצי הישר הימני ובעלת סדר מעריכי $\ \alpha$ אז $\ \lim_{Re(s) \to \infty}F(s)=\lim_{Re(s) \to \infty}\mathcal{L}(f(t))=0$ . רואים בטבלת ההתמרות כי מעלת המכנה תמיד גבוהה ממעלת המונה.

לינאריות:

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a F(s) + b G(s)$

גזירות:

$\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

קונבולוציה:

$\mathcal{L}\{f(t) * g(t)\} = F(s) \cdot G(s)$

אינטגרציה וקונבולוציה:

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = \mathcal{L}\left\{ u(t) * f(t)\right\} = {1 \over s} F(s)$

איפנון:

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)$

הזזה:

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)$

כאן $\ u(t)$ היא פונקציית מדרגה.

[עריכה] התמרת לפלס של טורי חזקות

נגדיר טור חזקות: $\ f(t)=\sum_{k=0}^n a_kt^k$ . על ידי שימוש בתכונת הלינאריות ובטבלת ההתמרות, נקבל: $\ \mathcal{L}(f(t))=\sum_{k=0}^n a_k\mathcal{L}(t^k)=\sum_{k=0}^n \frac{a_kk!}{s^{k+1}}$ . לטורי חזקות אינוספיים, לעומת זאת, לא תמיד קיימת התמרת לפלס. התמרת לפלס עבור טור החזקות $\ f(t)=\sum_{k=0}^\infty a_kt^k$ קיימת אם הטור מתכנס לכל $\ t \ge 0$ , וקיים $\ N$ טבעי כך שלכל $\ n \ge N$ ולכל $\ \alpha >0, M>0$ מתקיים $\ |a_k|\le \frac{M\alpha^k}{k!}$ . במקרה זה נקבל: $\ \mathcal{L}(f(t))=\sum_{k=0}^\infty a_k\mathcal{L}(t^k)=\sum_{k=0}^\infty \frac{a_kk!}{s^{k+1}}$ .

[עריכה] משפט הערך ההתחלתי

אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות $\ f(t), f'(t)$ אז מתקיים:

$\ \lim\limits_{t\to 0^+} f(t)= \lim\limits_{s\to\infty} sF(s)$

משפט זה נוח במיוחד כאשר מעוניינים בערך התחילי של הפונקציה במישור הזמן, כי אינו מחייב חישוב התמרת הלפלס ההפוכה של F.

[עריכה] משפט הערך הסופי

אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות $\ f(t), f'(t)$ וכל הקטבים של F נמצאים בחצי המישור השמאלי, ולכל היותר ישנו קוטב בודד בראשית, אז מתקיים:

$\ \lim\limits_{t\to\infty} f(t)= \lim\limits_{s\to 0} sF(s)$

משפט זה שימושי כאשר מעוניינים בהתנהגות המערכת לאחר ריסון תנאי ההתחלה.

[עריכה] טבלת התמרות לפלס

פונקציה

מרחב הזמן
$x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}$

מרחב התדר
$X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}$

תחום התכנסות
למערכת סיבתית

פונקציית הלם

$\delta(t) \$

$1 \$

לכל $s \$

פונקציית מדרגה

$1 \cdot u(t-\alpha) \$

${ e^{-\alpha s} \over s }$

$s > 0 \,$

דעיכה אקספוננציאלית

$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$

${ 1 \over s+\alpha }$

$s > - \alpha \$

דעיכה אקספוננציאלית מוכפלת t

$te^{-\alpha t} \cdot u(t) \$

${ 1 \over (s+\alpha)^2 }$

$s > - \alpha \$

קירוב אקספוננציאלי

$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$

$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$

$s > 0\$

סינוס

$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$

${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$

$s > 0 \$

קוסינוס

$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$

${ s \over s^2 + \omega^2 }$

$s > 0 \$

סינוס היפרבולי

$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$

${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$

$s > | \alpha | \$

קוסינוס היפרבולי

$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$

${ s \over s^2 - \alpha^2 }$

$s > | \alpha | \$

גל סינוס בדעיכה
אקספוננציאלית

$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$

${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$

$s > -\alpha \$

גל קוסינוס בדעיכה
אקספוננציאלית

$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$

${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$

$s > -\alpha \$

חזקת n

$t^n \cdot u(t)$

${ n! \over s^{n+1} }$

$s > 0 \,$

השורש ה-n-י

$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$

$s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$

$s > 0 \,$

לוגריתם טבעי

$\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$

$- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$

$s > 0 \,$

פונקציית בסל
מהסוג הראשון,
מסדר n

$J_n( \omega t) \cdot u(t)$

$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$

$s > 0 \,$
$(n > -1) \,$

פונקציית בסל היפרבולית
מהסוג הראשון,
מסדר n

$I_n(\omega t) \cdot u(t)$

$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$

$s > | \omega | \,$

פונקציית בסל
מהסוג השני,
מסדר 0

$Y_0(\alpha t) \cdot u(t)$

פונקציית בסל היפרבולית
מהסוג השני,
מסדר 0

$K_0(\alpha t) \cdot u(t)$

פונקציית השגיאה

$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$

${e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$

$s > 0 \,$

הערות:
$u(t) \,$ מייצג את פונקציית המדרגה. $\delta(t) \,$ מייצג את פונקציית דלתא של דיראק. $\Gamma (z) \,$ מייצג פונקציית גמא. $\gamma \,$ הוא קבוע אוילר.	$t \,$ , מספר ממשי, בדרך-כלל מייצג זמן, למרות שיכול לייצג כל מימד בלתי-תלוי. $s \,$ הוא מספר מרוכב המסמל את התדירות הזוויתית. $\alpha \,$ , $\beta \,$ , ו $\omega \,$ הם מספרים ממשיים. $n \,$ הוא מספר שלם.
מערכת סיבתית היא מערכת שבה התגובה להלם (h(t היא אפס לכל זמןt<0.

[עריכה] שימושים

פתרון משוואות דיפרנציאליות.

בתורת הבקרה, כאשר מאפייים מערכת, מופיעים לעתים קרובות ביטויים המערבים נגזרות. מאחר והתמרת לפלס הופכת גזירה למכפלה ואינטגרציה לחלוקה, הטיפול בביטויים כאלה הוא נוח, וכאשר מאפייני המערכת אינם תלויים בזמן, התמרת לפלס של משוואות התנועה נותנת פולינומים, אשר מאפשרים אנליזה קלה של המצב. (ע"ע: פונקציית תמסורת)