Średnia

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: miejscowość o tej nazwie.

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu Średnie.

Średnie

Średnia arytmetyczna
Średnia geometryczna
Średnia harmoniczna
Średnia kwadratowa
Średnia logarytmiczna
Średnia windsorska
Średnia arytmetyczno-geometryczna
Średnia uogólniona
Mediana
Dominanta (moda)
Środek ciężkości
Maksimum
Minimum

Średnia - w najogólniejszej wersji dowolna funkcja $\mu(a_{1},\ldots ,a_{n})$ taka, że dla dowolnych $a_{1},\ldots ,a_{n}$ spełnia warunek

$\min(a_{1},\ldots ,a_{n})\leq\mu(a_{1},\ldots ,a_{n})\leq \max(a_{1},\ldots ,a_{n}).$

i jednocześnie jest niemalejąca ze względu na każdą zmienną $a i$ .

Potocznie zwykle pod tą nazwą rozumie się średnią arytmetyczną.

Średnie są statystykami stosowanymi w celu przybliżenia wartości oczekiwanej zmiennej losowej. W przypadku rozkładu normalnego nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej jest średnia arytmetyczna. Dla rozkładu logarytmicznie normalnego (który często mają wielkości finansowe jak ceny towarów lub płace) nieobciążonym estymatorem jest średnia geometryczna.

Średnimi są w szczególności:

Wiele z wymienionych średnich daje się sprowadzić do postaci tak zwanej średniej potęgowej:

$\mu_p = \sqrt[p]{\frac{a_1^p + a_2^p + \cdots + a_n^p}{n}}.$

Powyższą definicję uzupełniamy dla $p=-\infty$ , $p = 0$ oraz $p=+\infty$ w sposób następujący:

$\mu_{-\infty} = \min(a_1, a_2, \dots, a_n),$
$\mu_0 = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n},$
$\mu_{+\infty} = \max(a_1, a_2, \dots, a_n).$

Zachodzą wówczas następujące zależności:

$μ - 1$ jest średnią harmoniczną liczb $a_1, a_2,\ldots , a_n$
$μ 0$ jest średnią geometryczną liczb $a_1, a_2,\ldots , a_n$
$μ 1$ jest średnią arytmetyczną liczb $a_1, a_2,\ldots , a_n$
$μ 2$ jest średnią kwadratową liczb $a_1, a_2,\ldots , a_n.$

Co warte podkreślenia, tak zdefiniowana funkcja $μ p$ zmiennej $p$ jest ciągła i niemalejąca na zbiorze $\R \cup \{-\infty, +\infty\}$ , jeśli zaś dla jakichkolwiek $i$ i $j$ , zachodzi $a_i\neq a_j$ , jest ona nawet rosnąca.