Średnia arytmetyczno-geometryczna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu Średnie.

Średnie

Średnia arytmetyczna
Średnia geometryczna
Średnia harmoniczna
Średnia kwadratowa
Średnia logarytmiczna
Średnia windsorska
Średnia arytmetyczno-geometryczna
Średnia uogólniona
Mediana
Dominanta (moda)
Środek ciężkości
Maksimum
Minimum

Średnią arytmetyczno-geometryczną dwóch liczb rzeczywistych dodatnich a i b, oznaczaną często w nomenklaturze anglojęzycznej przez AGM(a,b) lub M(a,b), nazywamy wspólną granicę następujących ciągów określonych rekurencyjnie:

$a_{n+1}=\frac{a_n + b_n}{2},$ $b_{n+1}=\sqrt{a_{n}b_{n}},$

gdzie a₀ = a oraz b₀ = b, przy czym średnią tę można rozszerzyć dla liczb zespolonych. Granica ta istnieje dla dowolnych a, b rzeczywistych dodatnich, ponieważ

$b_{n}\le b_{n+1}\le a_{n+1} \le a_{n},$

co wynika z nierówności Cauchy'ego, i równocześnie kolejne różnice pomiędzy odpowiednimi wyrazami ciągów (a_n) i (b_n) dążą do zera:

$\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n) = 0.$

Z samej konstrukcji mamy, że

$\sqrt{ab}\le M(a,b) \le \frac{a+b}{2}.$

Badania nad nią zapoczątkowane zostały jeszcze przez Gaussa, który w początkowym okresie swojej twórczości naukowej poświęcił jej dużo miejsca. W jego dzienniku z 30 maja 1799 roku czytamy nawet, że badania nad nią „stworzyły nowe pola rozwoju analizy”. Wkrótce odkrył on zaskakującą równość:

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\alpha}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}\alpha +b^{2}\sin^{2}\alpha}}=\frac{\pi}{2M(a,b)},$

z której wynika, że długość ćwiartki lemniskaty Bernoulliego wyraża się zależnością

$\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{2})}.$

Wielkość $M(1,\sqrt{2})$ nazywa się stałą Gaussa i wynosi w przybliżeniu

$1,1981402347355922074399\ldots$

Czasami stałą Gaussa nazywa się odwrotność powyższej liczby.

Średnia arytmetyczno-geometryczna ma wiele ciekawych własności m.in.

$M(\lambda a,\lambda b)=\lambda M(a,b),\mbox{dla }\lambda \ge 0,$ $M(a,b)=M(\frac{a + b}{2},\sqrt{a b}),$

czyli w szczególności dla 0<x<1

$M(1-x,1+x)=M(1,\sqrt{1-x^2}).$

Obecnie średnią arytmetyczno-geometryczną Gaussa wykorzystuje się w przeróżnych algorytmach służących do obliczania liczby π, z których najważniejszym wydaje się być odnaleziony w 1976 przez E. Salamina i R. Brenta