Przestrzeń liniowa

Z Wikipedii

Przestrzeń liniowa (lub też wektorowa) nad ciałem K – struktura algebraiczna , w której:

• jest grupą abelową,
• jest ciałem,

oraz spełnione są następujące aksjomaty zgodności:

• ,
• ,
• ,
• .

Spis treści 1 Ogólne 1.1 Baza i współrzędne wektora 1.2 Wymiar przestrzeni 1.3 Przestrzeń liniowa unormowana 1.4 Podprzestrzeń 2 Przykłady 2.1 Płaszczyzna 2.2 Ciało jako przestrzeń liniowa 2.3 Przestrzeń Kn 2.4 Przestrzenie funkcyjne 2.4.1 Przestrzeń funkcji ograniczonych 2.4.2 Przestrzeń funkcji ciągłych 2.4.3 Przestrzeń funkcji różniczkowalnych 2.4.4 Przestrzeń ciągów bezwzględnie sumowalnych 2.4.5 Przestrzeń ciągów sumowalnych z kwadratem 2.5 Przestrzeń macierzy nad ciałem 2.6 Wielomiany 3 Morfizmy przestrzeni liniowych 4 Zobacz też

[edytuj] Ogólne

Elementy zbioru V nazywamy wektorami, a elementy zbioru K – skalarami. Działanie ⊕ nazywamy dodawaniem wektorów, a ⊗ mnożeniem wektora przez skalar (mimo odwrotnej kolejności). 1 oznacza element neutralny mnożenia · w ciele K.

To, że V jest grupą abelową oznacza po prostu, że działanie ⊕ jest przemienne.

Badaniem przestrzeni liniowych w ogólności zajmuje się algebra liniowa.

W zastosowaniach szczególnie ważne są przestrzenie liniowe nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych zwane odpowiednio rzeczywistymi lub zespolonymi przestrzeniami liniowymi.

[edytuj] Baza i współrzędne wektora

Baza przestrzeni liniowej to taki zbiór wektorów (liniowo niezależnych), że każdy wektor przestrzeni można zapisać jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy.

Dla danej bazy i danego wektora współczynniki tej kombinacji liniowej, która przedstawia wektor' nazywamy współrzędnymi wektora w bazie. Po wybraniu bazy każdy wektor jest jednoznacznie wyznaczony przez ciąg swych współrzędnych w tej bazie.

Na przykład, w przestrzeni euklidesowej R² bazę tworzy zbiór {(1, 0), (0, 1)}. Wektor (–3, 1) daje się zapisać jako (–3, 4) = –3·(1, 0) + 4·(0,  1). Liczby –3 i 4 są współrzędnymi wektora (–3, 1) w wybranej bazie. W innej bazie te same liczby będą współrzędnymi innego wektora.

Każda przestrzeń liniowa ma bazę (fakt ten jest równoważny aksjomatowi wyboru); wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne.

[edytuj] Wymiar przestrzeni

Zobacz też: wymiar (matematyka).

Moc dowolnej bazy przestrzeni V nazywamy wymiarem przestrzeni liniowej i oznaczamy symbolem .

[edytuj] Przestrzeń liniowa unormowana

Przestrzeń na której określona jest funkcja normy

Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywamy skończenie wymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej.

[edytuj] Podprzestrzeń

Zobacz więcej w osobnym artykule: Podprzestrzeń liniowa.

Podprzestrzenią liniową przestrzeni V nad ciałem K nazywamy taki jej podzbiór U, który sam jest przestrzenią liniową nad ciałem K ze względu na działania określone w V.

Przykładami podprzestrzeni są: zbiór złożony z wektora zerowego i cała przestrzeń. Nietrywialnym przykładem jest podzbiór przestrzeni euklidesowej R² złożony z wszystkich wektorów postaci (x, 0).

[edytuj] Przykłady

Przestrzenie liniowe w naturalny sposób pojawiają się w wielu działach matematyki.

[edytuj] Płaszczyzna

Wektorami są tu klasycznie pojmowane wektory na płaszczyźnie, a skalarami - liczby rzeczywiste. Bazę płaszczyzny tworzy dowolny zbiór złożony z dwu nierównoległych wektorów. Podobnie można pojmować każdą przestrzeń euklidesową (uwaga: mówienie, że płaszczyzna jest przestrzenią wektorową to nadużycie - staje się ona nią dopiero po wyposażeniu w strukturę dodawania wektorów i mnożenia ich przez skalary). Warto pamiętać, że wszystkie wektory płaszczyzny rozumianej jako przestrzeń wektorowa są zaczepione w początku układu współrzędnych. Aby dodawać wektory zaczepione w różnych punktach konieczne jest rozszerzenie przestrzeni wektorowej do przestrzeni afinicznej, w której wprowadzamy dodatkową operację przesunięcia równoległego.

[edytuj] Ciało jako przestrzeń liniowa

Każde ciało (matematyka) można rozpatrywać jako przestrzeń liniową nad jego dowolnym podciałem. Na przykład, ciało liczb zespolonych jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Wymiar tej przestrzeni wynosi 2 – jest ona izomorficzna z płaszczyzną euklidesową.

Podobnie, ciało liczb rzeczywistych jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb wymiernych. Jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa (wymiaru continuum). Dowolną bazę tej przestrzeni nazywamy bazą Hamela.

[edytuj] Przestrzeń Kⁿ

Dla dowolnej liczby naturalnej n, rozważmy zbiór wszystkich uporządkowanych układów n skalarów z ciała K: Kⁿ = {(k₁, k₂, ..., k_n): k_i należy do K dla i = 1, 2, ..., n}. Jeżeli określić dodawanie takich układów wzorem:

(k₁, k₂, ..., k_n) + (l₁, l₂, ..., l_n) = (k₁ + l₁, k₂ + l₂, ..., k_n + l_n)

oraz mnożenie przez skalar α wzorem:

α·(k₁, k₂, ..., k_n) = (α·k₁, α·k₂, ..., α·k_n),

to otrzymamy n-wymiarową przestrzeń liniową nad ciałem K. Jeżeli przyjąć tu K = R, otrzymujemy n-wymiarową przestrzeń euklidesową.

[edytuj] Przestrzenie funkcyjne

Wektorami są tu funkcje rzeczywiste (lub zespolone) określone na pewnym zbiorze X, zaś skalarami liczby rzeczywiste (zespolone w przypadku zespolonym). Dodawanie funkcji (wektorów) jest określone wzorem:

(f+g)(x) = f(x) + g(x),

a mnożenie funkcji (wektora) przez liczbę wzorem:

(α·f)(x) = α·f(x)

Na przykład, dodając funkcje f(x) = 2x i g(x) = x² – x otrzymamy funkcję y = x² + x; mnożąc f przez – 2 otrzymamy funkcję y = – 4x.

Jeżeli zbiór X jest nieskończony, to tak otrzymana przestrzeń jest nieskończenie wymiarowa.

Określając w zbiorze X dodatkowe struktury (np. przestrzeni topologicznej) otrzymujemy przestrzenie liniowe o specyficznych własnościach, które są przedmiotami badań odrębnych działów matematyki – topologii, analizy matematycznej lub analizy funkcjonalnej.

[edytuj] Przestrzeń funkcji ograniczonych

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Zbiór B(X) wszystkich funkcji ograniczonych na X jest przestrzenią liniową.

[edytuj] Przestrzeń funkcji ciągłych

Niech X będzie przedziałem domkniętym. Zbiór C(X) wszystkich funkcji ciągłych na X jest p. liniową.

[edytuj] Przestrzeń funkcji różniczkowalnych

Niech X będzie przedziałem otwartym. Zbiór C′(X) wszystkich funkcji różniczkowalnych na X jest przestrzenią liniową.

[edytuj] Przestrzeń ciągów bezwzględnie sumowalnych

Niech X = N – rozważmy zbiór l¹ wszystkich ciągów x=(x₁, x₂, x₃, ...) dla których szereg liczbowy ∑|x_i| jest zbieżny. Z nierówności trójkąta wynika, że suma dwóch ciągów o opisanej własności znów ma tę własność, a to oznacza, że otrzymana przestrzeń jest przestrzenią liniową.

[edytuj] Przestrzeń ciągów sumowalnych z kwadratem

Niech X = N – rozważmy zbiór l² wszystkich ciągów x=(x₁, x₂, x₃, ...) dla których szereg liczbowy ∑|x_i|² jest zbieżny. Z nierówności Schwarza wynika, że suma dwóch ciągów o opisanej własności znów ma opisaną własność, a to oznacza, że otrzymana przestrzeń jest przestrzenią liniową.

[edytuj] Przestrzeń macierzy nad ciałem

Zobacz więcej w osobnym artykule: Macierz#Przestrzeń macierzy.

[edytuj] Wielomiany

Pierścień K[X] wielomianów o współczynnikach w ciele K jest przestrzenią liniową nad K. Jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa, jej bazą jest np. zbiór wielomianów {1, X, X², X³,...}.

[edytuj] Morfizmy przestrzeni liniowych

Niech F : X → Y będzie przekształceniem liniowym z przestrzeni liniowej X do Y. F nazywa się izomorfizmem, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Dwie przestrzenie liniowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• algebra liniowa (struktura),

wektory

• wektor,
• kombinacja liniowa wektorów,
• liniowa niezależność wektorów,

pojęcia

• baza przestrzeni liniowej,
• podprzestrzeń liniowa,

przestrzenie

• przestrzeń afiniczna,
• przestrzeń Banacha,
• przestrzeń Hilberta,

przekształcenia

• przekształcenie liniowe,
• przekształcenie afiniczne,

inne

• układ równań liniowych.