Homomorfizm

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.

[edytuj] Definicja

Niech:

$\mathcal A=(A, f_1,...,f_n)$ i $\mathcal B=(B, g_1,...,g_n)$ będą algebrami ogólnymi tego samego typu,
$h: A \to B$ będzie funkcją przekształcającą zbiór $A$ w zbiór $B$ ,
dla $i = 1,..., n$ niech $a (i)$ będzie arnością operacji $f i$ oraz $g i$ (liczba argumentów obu funkcji musi być równa, ponieważ algebry $\mathcal A$ i $\mathcal B$ mają ten sam typ).

Wtedy $h$ jest homomorfizmem algebry $\mathcal A$ w algebrę $\mathcal B$ , jeśli dla każdego $i = 1,..., n$ oraz ciągu $(x 1, x 2,..., x a (i))$ elementów zbioru $A$ zachodzi równość:

h (f i (x 1, x 2,..., x a (i))) = g i (h (x 1), h (x 2),..., h (x a (i)))

Oznacza to, że dla każdego $i = 1,..., n$ odwzorowanie $h$ przeprowadza operację $f i$ w operację $g i$ .

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu np:

homomorfizm grup
homomorfizm pierścieni
homomorfizm przestrzeni liniowych (przekształcenie liniowe)

[edytuj] Przykłady

Niech $G = (G, + ,0)$ oraz $\mathrm H = (H, \oplus, \theta)$ będą grupami abelowymi (to założenie nie jest konieczne – przykład obowiązuje również dla grup w ogólności) oraz $h: G \to H$ . Załóżmy, że $\forall_{a,\; b \in G}\; h(a + b) = h(a) \oplus h(b)$ . Wtedy $h$ jest homomorfizmem grupy $G$ w grupę $H$ . Istotnie, $h$ przeprowadza działanie grupowe $+$ na działanie $\oplus$ na mocy powyższego założenia.

Ponadto można łatwo pokazać, że $h$ przekształca element neutralny względem działania w $G$ na element neutralny względem działania $H$ , to znaczy ma miejsce równość $h (0) = θ$ . Podobnie, nietrudno wykazać, że $\forall_{a \in G}\; h(-_+a) = -_\oplus h(a)$ .

Oznaczmy przez $G$ zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania $+$ oraz przez $H$ zbiór liczb rzeczywistych z działaniem $\mathrm \oplus$ będącym zwykłym mnożeniem tych liczb. Wtedy homomorfizmem $h$ może być funkcja wykładnicza $h (x) = e x$ , która przesyła sumę $2 + 3$ na iloczyn $e^2 \cdot e^3=e^{2+3}$ .

[edytuj] Rodzaje homomorfizmów

Homomorfizm, który jest:

iniekcją, nazywamy monomorfizmem,
suriekcją, nazywamy epimorfizmem,
bijekcją, nazywamy izomorfizmem (zatem każdy monomorfizm będący jednocześnie epimorfizmem jest izomorfizmem),
odwzorowaniem struktury w samą siebie, nazywamy endomorfizmem,
wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem struktury w samą siebie (tzn. będący jednocześnie izomorfizmem i endomorfizmem), nazywamy automorfizmem.