Automorfizm

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Definicja
2 Grupa automorfizmów
3 Automorfizmy wewnętrzne
4 Własności
5 Przykłady
6 Zobacz też

Automorfizm – izomorfizm struktury matematycznej $\mathcal A$ na siebie, czyli jej wzajemnie jednoznaczny endomorfizm. W pewnym sensie jest to symetria obiektu – sposób odwzorowania obiektu na siebie przy zachowaniu całej jego struktury.

[edytuj] Definicja

Ścisła definicja automorfizmu zależy od rodzaju „obiektu matematycznego” oraz od tego czym jest „izomorfizm” danego obiektu. Najogólniejszym spojrzeniem na to pojęcie jest abstrakcyjna gałąź matematyki zwana teorią kategorii, która zajmuje się abstrakcyjnymi obiektami i morfizmami między nimi.

W teorii kategorii automorfizm to endomorfizm (morfizm obiektu na siebie samego) będący zarazem izomorfizmem (w teorikategoryjnym sensie znaczenia).

Powyższa definicja jest wyjątkowo abstrakcyjna, gdyż morfizmy w teorii kategorii nie muszą być nawet funkcjami, zaś obiekty zbiorami. Jednak w większości zastosowań obiekty będą zbiorami z dodatkową strukturą, zaś morfizmy funkcjami zachowującymi te struktury.

W kontekście algebry abstrakcyjnej obiektami matematycznymi są przykładowo grupy, pierścienie, czy przestrzenie liniowe. Izomorfizmem jest wówczas wzajemnie jednoznaczne homomorfizmy (oczywiście definicja homomorfizmu zależy od typu struktury, zobacz: homomorfizm grup, homomorfizm pierścieni, przekształcenie liniowe).

[edytuj] Grupa automorfizmów

Zbiór wszystkich automorfizmów struktury $\mathcal A$ z działaniem składania odwzorowań jako grupowe, operatorem funkcji odwrotnej jako operatorem brania elementu odwrotnego i odwzorowaniem tożsamościowym pełniącym rolę elementu neutralnego tworzy grupę zwaną grupą automorfizmów struktury $\mathcal A$ .

Grupa ta jest dobrze określona, gdyż:

$\circ$ zastosowane do dwóch endomorfizmów pozostaje endomorfizmem (zbiór jest zamknięty ze względu na to działanie),
$\circ$ jest zawsze łączne,
$i d$ jest morfizmem identycznościowym obiektu na siebie (istnieje z definicji),
$\;^{-1}$ – z definicji izomorfizm posiada funkcję odwrotną będącą izomorfizmem będącym zarazem endomorfizmem, stąd funkcja odwrotna jest jej automorfizmem.

Grupę automorfizmów $\mathcal A$ oznacza się $\operatorname{Aut}(\mathcal A) := (\mathcal A, \circ, \;^{-1}, id)$ . W pewnym sensie pojęcie to jest podobne konceptu grupy symetrii tego obiektu.

[edytuj] Automorfizmy wewnętrzne

Odwzorowanie $f\colon G \to G$ określone wzorem $f a (x) = a - 1 x a$ , gdzie $a$ jest ustalonym elementem grupy $G$ , jest automorfizmem grupy $G$ , zwanym automorfizmem wewnętrznym. Grupę wszystkich takich automorfizmów oznacza się przez $\operatorname{Inn}(G)$

[edytuj] Własności

$\operatorname{Inn}(G) \le \operatorname{Aut}(G)$ , co więcej, lemat Goursata mówi, że grupa automorfizmów wewnętrznych stanowi podgrupę normalną grupy automorfizmów.

[edytuj] Przykłady

Jedynym automorfizmem każdego ciała prostego jest tożsamość.
Jedynym automorfizmem ciała liczb rzeczywistych jest tożsamość.
Jedynymi ciągłymi automorfizmami ciała liczb zespolonych są tożsamość i sprzężenie zespolone. Jest natomiast nieskończenie wiele nieciągłych automorfizmów ciała liczb zespolonych. Dokładniej, moc tego zbioru wynosi $2^\mathfrak c$ .