Liczby Cullena
Z Wikipedii
W matematyce liczbami Cullena nazywamy liczby naturalne postaci n · 2n + 1 (oznaczane przez Cn). Jako pierwszy liczby te badał James Cullen w 1905 roku.
Zostało wykazane, że istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Cullena. Jedyne odkryte dotychczas liczby pierwsze Cullena to liczby Cn dla n = 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828 (ciąg A005849 w OEIS). Przypuszcza się, że istnieje nieskończenie wiele pierwszych liczb Cullena.
W Kwietniu 2005 Mark Rodenkirch odkrył największą znaną liczbę pierwszą Cullena dla n = 1354828.
Liczba Cullena Cn dzieli się przez p = 2n - 1 jeżeli p jest liczbą pierwszą postaci 8k - 3. Co więcej, na podstawie małego twierdzenia Fermata, jeżeli p jest liczbą pierwszą większą od 2, to p dzieli Cm(k) dla każdego m(k) = (2k − k) · (p − 1) − k (dla k > 0). Pokazano też, że liczba pierwsza p dzieli C(p + 1)/2 kiedy symbol Jacobiego (2 | p) wynosi -1, oraz że p dzieli C(3p − 1)/2 kiedy symbol Jacobiego (2 | p) wynosi +1.
Nie wiadomo czy istnieje taka liczba pierwsza p, że Cp też jest liczbą pierwszą.
Czasami definiuje się uogólnione liczby Cullena jako liczby postaci n · bn + 1, gdzie n + 2 > b. Jeżeli liczbę pierwszą można zapisać w tej postaci, to nazywa się ją uogólnioną liczbą pierwszą Cullena. Liczby Woodalla są czasem nazywane liczbami Cullena drugiego rodzaju.
