Paradoks Russella

Z Wikipedii

Paradoks Russella brzmi następująco:

Rozważmy zbiór V zawierający wszystkie (i tylko takie) zbiory X takie, że X nie jest elementem X:

Zadajmy teraz pytanie - czy V jest elementem V? Jeśli tak, to wtedy V nie spełnia własności elementów zbioru V, więc nie jest elementem V. Jeśli zaś założymy, że V nie jest elementem V, to wtedy (zgodnie z definicją V) V musi być elementem V. W ten sposób dochodzimy do sprzeczności.

Sprzeczność tę zauważył Bertrand Russell w 1901 roku. Stanowiła ona duży cios dla osób rozwijających teoriomnogościowe podwaliny matematyki, którzy do tamtej pory przyjmowali, że wszystkie matematyczne obiekty są zbiorami. Uwaga Russella zmusiła matematyków do rewizji tego stanowiska i przyjęcia, że istnieją obiekty opisywane formułami, które zbiorami nie są (owe obiekty nazywane są klasami właściwymi).

Paradoks ten ma charakter podobny do takich paradoksów, jak paradoks zbioru wszystkich zbiorów, paradoks kłamcy czy paradoks Berry'ego.

Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu matematyki