Reguła de l'Hospitala

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Reguła de l'Hôspitala - zwana także twierdzeniem de l'Hôspitala - została odkryta przez Jana Bernoulliego, zaś opublikowana przez jego ucznia Guillaume de l'Hôspitala. Znalazła się ona w pierwszym podręczniku analizy matematycznej o nazwie Analyse des infiniment petits wydanym w roku 1696. Pełne brzmienie twierdzenia znajduje się poniżej.

Jeżeli

dziedziny funkcji:
$\frac{f}{h}\quad\textrm{ i }\quad\frac{f^{\prime}}{h^{\prime}}$
zawierają pewne sąsiedztwo S punktu $x 0$
$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=0$ lub

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=\infty$
istnieje granica:

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{'}(x)}{h^{'}(x)},$

to istnieje także granica

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{h(x)}$

oraz zachodzi równość:

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{h(x)}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{'}(x)}{h^{'}(x)}.$

Twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic jednostronnych.

Niekiedy należy obliczyć granice ilorazu kilku kolejnych pochodnych, aby uzyskać wynik. Twierdzenie to jest niezwykle przydatne przy obliczaniu granic funkcji.

Może się zdarzyć, że granica ilorazu pochodnych nie istnieje, a mimo to istnieje granica ilorazu funkcji.

[edytuj] Przykład zastosowania

Dla niektórych funkcji próba znalezienia ich granicy w pewnym punkcie stosując podstawienie wartości x powoduje, że dochodzimy do wyrażenia nieoznaczonego:

$\lim_{x \to 0}~\frac{\sin x}{x}=\left[ \frac{\sin 0}{0} \right]=\left[ \frac{0}{0} \right]$