Układ współrzędnych kartezjańskich

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o prostopadłych do siebie osiach.

Spis treści

1 Definicja
2 Współrzędne
3 Podział płaszczyzny
4 Skrętność przestrzeni trójwymiarowej
5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Układem współrzędnych kartezjańskich nazywamy układ współrzędnych w którym zadane są:

punkt zwany środkiem lub początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą $O$ lub cyfrą $0$ .
zestaw n osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych, z których każde dwie są do siebie prostopadłe i których zera znajdują się w wybranym początku układu. Trzy pierwsze osie często oznaczane są:
- $O X$ (pierwsza oś, zwana osią odciętych),
- $O Y$ (druga, zwana osią rzędnych),

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.

[edytuj] Współrzędne

Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu $P$ :

Tworzymy rzut prostokątny punktu $P$ na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez $P$ i prostopadłą do k-tej osi a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią.
Wartość w uzyskanym punkcie osi jest k-tą współrzędną $P$ .

Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane są:

$x$ – odcięta, łac. abscissa,
$y$ – rzędna, łac. ordinata,
$z$ – łac. aplicata.

Właśnie ze sposobu wyznaczania współrzędnych punktu (poprzez rzut prostokątny) kartezjański układ współrzędnych zyskał również nazwę prostokątnego układu współrzędnych używanego przede wszystkim w szkołach.

[edytuj] Podział płaszczyzny

Kartezjański układ współrzędnych $(x, y)$ w dwóch wymiarach dzieli płaszczyznę na cztery tzw. ćwiartki układu współrzędnych:

I ćwiartka – $\left\{(x,\; y): x>0, \; y>0\right\}$ ,
II ćwiartka – $\left\{(x,\; y): x<0, \; y>0\right\}$ ,
III ćwiartka – $\left\{(x,\; y): x<0, \; y<0\right\}$ ,
IV ćwiartka – $\left\{(x,\; y): x>0, \; y<0\right\}$ .

[edytuj] Skrętność przestrzeni trójwymiarowej

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.

Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi $O X$ do $O Y$ , to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi $O Z$ (tzw. reguła prawej dłoni albo reguła śruby prawoskrętnej). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność, co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka.