מערכת צירים קרטזית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מערכות צירים וקואורדינטות

מערכות צירים נפוצות

ראו גם

מערכת הצירים הקרטזית היא מערכת צירים שהגה בשנת 1637 המתמטיקאי והפילוסוף הצרפתי רנה דקארט, כדרך להצגה מדויקת של מיקום נקודות במישור ובמרחב התלת-ממדי.

הגדרה פורמלית: מערכת הצירים הקרטזית (במרחב וקטורי ממשי ונוצר סופית מממד n) היא מערכת המורכבת מ-n וקטורי יחידה הניצבים זה לזה. כלומר: איברי הבסיס היוצרים אותם הם $\ 1 \le i \le n \ : \ \vec{e_i}$ כאשר הכוונה כאן היא ל n-ית מספרים שבה יש 1 במקום ה i ו 0 בשאר המקומות. בסיס זה נקרא הבסיס הסטנדרטי. בסיס זה מהווה בסיס אורתונורמלי קבוע.

בדרך כלל, הביטוי "מערכת צירים קרטזית" משמש רק במקרים הפרטיים של מישור ( $\mathbb{R}^2$ ) ומרחב תלת-ממדי ( $\mathbb{R}^3$ ).

תוכן עניינים

1 דוגמאות חשובות
- 1.1 מערכת צירים דו-ממדית
- 1.2 מערכת צירים תלת-ממדית
2 שימושים במערכת צירים קרטזית
3 ראו גם
4 קישורים חיצוניים

[עריכה] דוגמאות חשובות

כדי להבין את מהות מערכת הצירים נציג שני מקרים פרטיים, שהם השימושיים ביותר וקל לדמיין אותם ואף לשרטטם על דף נייר.

[עריכה] מערכת צירים דו-ממדית

מערכת הצירים הקרטזית המודרנית מוגדרת לרוב על ידי שני קווים ישרים הנקראים צירים, הממוקמים בזווית ישרה אחד מהשני, ויוצרים מישור (מישור ה-xy). הציר האופקי מסומן ב-x, והציר האנכי מסומן ב-y.

נקודת החיתוך של הצירים נקראת ראשית הצירים ומסומנת לרוב באות הלועזית O. כדי לציין נקודה מסוימת במערכת צירים זו, מציינים את יחידת ה-x ואת יחידת ה-y של הנקודה ויוצרים את הזוג הסדור (x,y). במערכת צירים תלת-ממדית נוספת גם יחידת z ונוצרת השלשה הסדורה (x,y,z).

הנקודה p בתמונה הבאה נמצאת במיקום (5,2).

[עריכה] מערכת צירים תלת-ממדית

בתחילת המאה ה-19 נוסף ממד נוסף של מדידה, בעזרת ציר ה-z.

הבסיס של מערכת צירים זאת הוא

$\ \hat{x} = \hat{e_1} = (1,0,0) \quad \hat{y} = \hat{e_2} = (0,1,0) \quad \hat{z} = \hat{e_3} = (0,0,1)$

וקל לראות שהם אכן ניצבים גאומטרית וכן אורתוגונליים ביחס למכפלה סקלרית הסטנדרטית. יתרה מכך, וקטורי הבסיס מהווים שלשה ימנית כפי שניתן לראות מביצוע המכפלה הווקטורית שלהם: $\ \hat{x} \times \hat{y} = \hat{z}$ .

הקואורדינטות הקרטזיות ב $\mathbb{R}^3$ משמשות כמבנה נוח ושימושי ביותר לתיאור המרחב התלת ממדי ושימושיות במיוחד באנליזה וקטורית.

[עריכה] שימושים במערכת צירים קרטזית

ברוב המקרים בהם מדובר על מערכת צירים, הכוונה היא למערכת צירים קרטזית. רק בפיזיקה ובמתמטיקה קיים שימוש נרחב במערכות צירים אחרות. בנוסף לעתים קרובות משמשת מערכת צירים קרטזית בתור התרגום לגאומטריה אנליטית של גאומטריה אוקלידית.

דוגמאות לשימוש:

ציור גרפים של תופעות (למשל מכירות) לפי זמן.
הצגה של גרפיקה על מסך המחשב.
שרטוט מפות גאוגרפיות (דו-ממדיות) ושימוש במערכת צירים קרטזית על מנת לתת נקודות ציון (קואורדינטות) למקומות חשובים על גבי המפה. ראו גם: קווי אורך וקווי רוחב.
תיאור המרחב התלת-ממדי לצרכי אנליזה וקטורית ותיאור שדות פיזיקליים. תיאור זה רווח במיוחד בפיזיקה ובו מערכת הצירים היא גם קונסטרוקציה אלגברית ולא גאומטרית גרידא.