Логнормальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

**Логнормальное**
Плотность вероятности μ=0
Функция распределения μ=0
Параметры	$\sigma \ge 0$ $-\infty \le \mu \le \infty$
Носитель	$x \in [0; +\infty)\!$
Плотность вероятности	$\exp\left(-\left.\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma}\right]^2\right/2\right) \left/ \left(x\sigma\sqrt{2\pi}\right) \right.$
Функция распределения	$\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{Erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]$
Математическое ожидание	$e^{\mu+\sigma^2/2}$
Медиана	$e μ$
Мода	$e^{\mu-\sigma^2}$
Дисперсия	$(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}$
Коэффициент асимметрии	$e^{-\mu-\sigma^2/2}(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}$
Коэффициент эксцесса	$e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6$
Информационная энтропия	$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu$
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Содержание

1 Определение
2 Моменты
3 Свойства логнормального распределения
4 Связь с другими распределениями
5 Моделирование логнормальных случайных величин

[править] Определение

Пусть распределение случайной величины $X$ задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

$f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{matrix} \right.$ ,

где $\sigma>0,\; \mu\in \mathbb{R}$ . Тогда говорят, что $X$ имеет логнормальное распределение с параметрами $μ$ и $σ$ . Пишут: $X ˜LogN(μ,σ 2)$ .

[править] Моменты

Формула для $k$ -го момента логнормальной случайной величины $X$ имеет вид:

$\mathbb{E}\left[X^k\right] = e^{k\mu + \frac{k^2\sigma^2}{2}},\; k \in \mathbb{N},$

откуда в частности:

$\mathbb{E}[X] = e^{\mu + {\sigma^2 \over 2}}$ ,

$\mathrm{D}[X] =\left(e^{\sigma^2}-1\right) e^{2\mu + \sigma^2}$ .

[править] Свойства логнормального распределения

Если $X_1,\ldots, X_n$ — независимые логнормальные случайные величины, такие что $X_i \sim \mathrm{LogN}(\mu, \sigma_i^2)$ , то их произведение также логнормально:

$Y = \prod\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{LogN}\left(\mu, \sum\limits_{i=1}^n \sigma^2_i\right)$ .

[править] Связь с другими распределениями

Если $X ˜LogN(μ,σ 2)$ , то

Y = ln X ˜N(μ,σ 2)

[править] Моделирование логнормальных случайных величин

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенирировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту.

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное