Непрерывное равномерное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

**Непрерывное равномерное распределение**
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	$a,b \in (-\infty,\infty)$ , $a$ - коэффициент сдвига, $b - a$ - коэффициент масштаба
Носитель	$a \le x \le b$
Плотность вероятности	$\begin{matrix} \frac{1}{b - a} & a \le x \le b \\ \\ 0 & \ x<a\ ,\ x>b \end{matrix}$
Функция распределения	$\begin{matrix} 0 & x < a \\ \frac{x-a}{b-a} & ~~~~~ a \le x < b \\ 1 & x \ge b \end{matrix}$
Математическое ожидание	$\frac{a+b}{2}$
Медиана	$\frac{a+b}{2}$
Мода	любое число из отрезка $[a, b]$
Дисперсия	$\frac{(b-a)^2}{12}$
Коэффициент асимметрии	$0$
Коэффициент эксцесса	$-\frac{6}{5}$
Информационная энтропия	$ln(b - a)$
Производящая функция моментов	$\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$
Характеристическая функция	$\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$

Непреры́вное равноме́рное распределе́ние - в теории вероятностей распределение, характеризующееся тем, что вероятность любого интервала зависит только от его длины.

[править] Определение

Говорят, что случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке $[a, b]$ , где $a,b\in \mathbb{R}$ , если её плотность $f X (x)$ имеет вид:

$f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} {1 \over b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & x\not\in [a,b] \end{matrix} \right..$

Пишут: $X \sim U[a,b]$ . Иногда значения плотности в граничных точках $x = a$ и $x = b$ меняют на другие, например $0$ или $1 / 2(b - a)$ . Так как интеграл Лебега от плотности не зависит от поведения последней на множествах меры нуль, эти вариации не влияют на вычисления связанных с этим распределением вероятностей.

[править] Функция распределения

Интегрируя определённую выше плотность, получаем:

$F_X(x) \equiv \mathbb{P}(X \le x) = \left\{ \begin{matrix} 0, & x < a \\ {x-a \over b-a}, & a \leq x \leq b \\ 1, & x \ge b \end{matrix} \right..$

Так как плотность равномерного распределения разрывна в граничных точках отрезка $[a, b]$ , то функция распределения в этих точках не является дифференцируемой. В остальных точках справедливо стандартное равенство:

$\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x),\; \forall x\not= a,b$ .

[править] Производящая функция моментов

Простым интегрированием получаем:

$M_X(t) = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}$ ,

откуда находим все интересующие моменты непрерывного равномерного распределения:

$\mathbb{E}\left[X\right] = \frac{a+b}{2}$ ,

$\mathbb{E}\left[X^2\right] = \frac{a^2+ab+b^2}{3}$ ,

$\operatorname{D} X = \frac{(b-a)^2}{12}$ .

Вообще,

$\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=1}^n{a^k b^{n-k}}$ .

[править] Стандартное равномерное распределение

Если $a = 0$ , а $b = 1$ , то есть $X \sim U[0,1]$ , то такое непрерывное равномерное распределение называют стандартным. Имеет место элементарное утверждение:

Если случайная величина $X \sim U[0,1]$ , и

Y = a + (b - a) X

, где

a < b

, то $Y \sim U[a,b]$ .

Таким образом, имея генератор случайной выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения, легко построить генератор выборки любого непрерывного равномерного распределения.

Более того, имея такой генератор и зная функцию обратную к функции распределения случайной величины, можно построить генератор выборки любого непрерывного распределения (не обязательно равномерного) с помощью метода обратного преобразования. Поэтому, стандартно равномерно распределённые случайные величины иногда называют базовыми случайными величинами.

[править] См. также

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное