Операда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Операда (Клон полилинейных операций) — семейство множеств $\{R_n, n\ge 1\}$ с левым действием симметрических групп $S_n\!$ на соответствующих $R_n\!$ и с операциями композиции:

$R_{n_1}\times\dots\times R_{n_m}\times R_m \longrightarrow R_{n_1+\dots n_m}: (r_1, \dots , r_m, r)\to r_1\dots r_mr$ ,

удовлетворяющими обобщённым тождествам ассоциативности:

$(r_{11}r_{21}\dots r_{k_11}r_1)\dots (r_{1m}r_{2m}\dots r_{k_mm}r_m)r=(r_{11}r_{21}\dots r_{k_11}\dots r_{1m}r_{2m}\dots r_{k_mm})(r_1\dots r_mr)$

и наличию единицы $\epsilon\in R_1: (\epsilon\dots\epsilon)r=r,\quad r\epsilon=r$ .

Операда называется линейной, если $R_n\!$ являются пространствами, действия симметрических групп $S_n\!$ являются представлениями, а композиции полилинейны.

Алгебра над линейной операдой — это пространство $A\!$ c полилинейными операциями композиции:

$A^{\otimes n}\otimes_{S_n} R_n\longrightarrow A: a_1\otimes\dots\otimes a_n\otimes r\to a_1\dots a_nr$

со свойствами унитарности $a\epsilon=a\!$ и обобщённой ассоциативности:

$(a_{11}a_{21}\dots a_{k_11}r_1)\dots (a_{1m}a_{2m}\dots a_{k_mm}r_m)r=(a_{11}a_{21}\dots a_{k_11}\dots a_{1m}a_{2m}\dots a_{k_mm})(r_1\dots r_mr)$

[править] Примеры

Операдные конструкции описывают множество алгебраических систем, топологических, комбинаторных объектов.

Простейшей операдой является ассоциативное кольцо $R\!$ с 1: $R_1=R,\quad R_{>1}=\{0\}$ . Алгебра над ней — это правый $R\!$ —модуль.

Структуру линейной операды можно определить на семействе групповых алгебр над симметрическими группами $\{k(S_n), n\ge 1\}\!$ , а также и на $\{k(G^n), n\ge 1\}\!$ , где $G\!$ — моноид.

[править] История

Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры были введены советским алгебраистом В. А. Артамоновым в статье 1969 года, немного позднее они были переоткрыты американским топологом Дж. Петером Мэем под именем операд и алгебр над ними. С тех пор западные учёные считают изобретателем операд Петера Мэя (об открытии Мэя).

[править] Литература

Артамонов В.А. "Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры"//УМН,— 1969,— Т.24,— № 1,— стр. 47—59
May J.P. "The geometry of iterated loop spaces", Lecture Notes in Mathematics, vol. 271,— Berlin: Springer-Verlag, 1972, 175 p.

Это незавершённая статья по математике.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Категории: Незавершённые статьи по математике | Абстрактная алгебра

Операда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Примеры

[править] История

[править] Литература

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках