Представление группы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Представле́ние гру́ппы (в абстрактной алгебре) — гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства. Образ этого гомоморфизма сам является группой, элементами которой являются соответствующие линейные преобразования или их матрицы. Поэтому, представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Например, унитарная группа U(1) может быть представлена как группа из вращений двухмерного пространства вокруг центра. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры. В более широком смысле под представлением группы может пониматься рассмотрение группы преобразований любого математического объекта, а не только векторного пространства.

Строго говоря, представление группы, обозначенной G, определяется как гомоморфизм из группы G в группу автоморфизмов Aut(W) векторного пространства W.

Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений групп.

В зависимости от представленной группы различают разделы теории представлений:

• конечные группы — См. Теория представлений конечных групп.
• топологические группы — некоторые построения для представлений конечных групп можно обобщить и для бесконечных групп. Для локально компактнных топологических групп это можно сделать с помощю меры Хаара. На результирующей теории во многом основан гармонический анализ, а также современное изложение общей теории Фурье.
• группы Ли — многие группы Ли являются компактными. Соответственно к ним можно применить теорию представлений компактных групп. См. Теория представлений групп Ли.

[править] См. также

• Дуальность Понтрягина
• Характер (теория представлений)
• Неприводимое представление