Static Wikipedia February 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Web Analytics
Cookie Policy Terms and Conditions Правильный восьмиугольник — Википедия

Правильный восьмиугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов и все углы и стороны равны между собой.


[править] Основные сведения

Построение правильного восьмиугольника
Построение правильного восьмиугольника

Восьмиугольник можно построить, проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.

Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080° и вычисляется по формуле:

\sum \alpha = (n - 2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ

Один угол правильного восьмиугольника составляет

\alpha = \frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{4} \cdot 180^\circ = 135^\circ

[править] Формулы для расчёта площади

Разделим правильный восьмиугольник на 8 равнобедренных треугольников. Противолежащий основанию угол в них равен 360° : 8 = 45°. Углы при основании равны 67,5°. Проводим высоту, которая делит такой треугольник пополам. В результате возникает прямоугольный треугольник с углами 67,5°, 22,5° и 90°. Следующие выкладки выводятся из этого прямоугольного треугольника, при этом принимается:

  • a — длина стороны восьмиугольника
  • a‘ — половина длины стороны восьмиугольника
  • r — радиус вписанной окружности
  • R — радиус описанной окружности
  • A — искомая площадь восьмиугольника
  • A‘ — площадь прямоугольного треугольника

Если дан радиус r:
Искомое бедро (противолежащий острому углу катет) можно установить через тангенс 22,5°:

a' = r \cdot \tan 22{,}5^\circ

Площадь прямоугольного треугольника в этом случае равна

A' = \frac{1}{2} \cdot a' \cdot r = \frac{1}{2} \cdot (r \cdot \tan 22{,}5^\circ) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \tan 22{,}5^\circ

Площадь равнобедренного треугольника в 2 раза больше площади прямоугольного треугольника, а прощадь всего восьмиугольника в восемь раз больше площади равнобедренного треугольника:

Формула 1: A = 2 \cdot 8 \cdot A' = 16 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \tan 22{,}5^\circ \right) = 8 \cdot r^2 \cdot \tan 22{,}5^\circ


Если дана сторона а:
Аналогично вышеупомянутому рассмотрению, можно установить радиус r вписанной окружности через tg 22,5°, а а‘ явилась бы половиной от а:

Формула 2: r = \frac{a'}{\tan 22{,}5^\circ}

Площадь прямоугольного треугольника равна

A' = \frac{1}{2} \cdot a' \cdot r = \frac{1}{2} \cdot a' \cdot \frac{a'}{\tan 22{,}5^\circ} = \frac{a'^2}{2 \cdot \tan 22{,}5^\circ}

В соответствии с этим для общей площади имеем

A = 8 \cdot 2 \cdot A' = 16 \cdot \frac{a'^2}{2 \cdot \tan 22{,}5^\circ} = \frac{8 \cdot a'^2}{\tan 22{,}5^\circ}


Если дан радиус R:
Отношение а‘ к R равно синусу острого угла:

a' = R \cdot \sin 22{,}5^\circ

Радиус r вписанной окружности составляет (см. формулу 2)

r = \frac{a'}{\tan 22{,}5^\circ} = \frac{R \cdot \sin 22{,}5^\circ}{\tan 22{,}5^\circ} = R \cdot \cos 22{,}5^\circ

Площадь прямоугольного треугольника равна

A' = \frac{1}{2} \cdot a' \cdot r = \frac{1}{2} \cdot (R \cdot \sin 22{,}5^\circ) \cdot (R \cdot \cos 22{,}5^\circ) = \frac{R^2 \cdot \sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ}{2}

По уже известной формуле получаем площадь равной

A = 8 \cdot 2 \cdot A' =  16 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ \right) = 8 \cdot R^2 \cdot \sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ


[править] Применение восьмиугольников

  • В некоторых странах знак «Stop» имеет вид красного восьмиугольника.


Правильные многоугольники
Треугольник | Четырёхугольник | Пятиугольник | Шестиугольник | Семиугольник | Восьмиугольник | Девятиугольник | Семнадцатиугольник | 257-угольник | 65537-угольник
(См. также: Многоугольник)
 
На других языках
Static Wikipedia 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2006 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu