Треугольное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника, см. рисунок.

Последовательность треугольных чисел, T_n, для n = 1, 2, 3… :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …

Одно из самых известных треугольных чисел — это 666, также известное как Число Зверя.

[править] Свойства

• Формулы для n-ого треугольного числа:
  • ;
  • ;
  • , где обозначает биномиальный коэффициент
• Сумма двух последовательных треугольных чисел — это квадратное число, т.е.
      T_n + T_{n − 1} = n².
• Каждое чётное совершенное число является треугольным.

[править] Обобщения

Это также может быть видно, что для любого n-мерного симплекса со сторонами длины x, формула

даёт нам количество точек, которые образуют симплекс. Например тетраэдр со сторонами длины 2 соответствует числу (2)(2 + 1)(2 + 2)/6, или 4. Четыре точки образующие эту конфигурацию вершины тетраэдра. (Замечание: Тетраэдр может быть создан с помощью треугольного числа с добавлением к нему всех треугольных чисел до него, так тетраэдр со стороной 2 составлен из 2 треугольников = 3 плюс 1 = 4.)

[править] См. также

• квадратное число
• многоугольное число
• треугольное квадратное число
• тетраэдральное число