Dreieckszahl

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Eine Dreieckszahl beziffert die Anzahl der Kreise (oder Punkte), die nötig sind, um ein gleichseitiges Dreieck in gleichmäßigen Abständen auszufüllen.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung
2 Die Definition der Dreieckszahl
3 Eigenschaften der Dreieckszahlen
4 Quadratzahlen unter den Dreieckszahlen
- 4.1 Überlegung
- 4.2 Beispiele
5 Zahlenpalindrome unter den Dreieckszahlen
6 Diverses
7 Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen
- 7.1 Beispiel
8 Literatur

[Bearbeiten] Einleitung

Die Dreieckzahl wird häufig mit Carl Friedrich Gauß in Zusammenhang gebracht. Während seiner Schulzeit soll der Lehrer zur Beschäftigung der Klasse folgende Aufgabe gestellt haben: Jeder für sich sollte die Summe aller Zahlen von 1 bis 100 bilden. Der Lehrer nahm an, die Klasse wäre damit für eine Weile beschäftigt. Gauß hat nun angefangen zu rechnen, und hat die ersten Summen gebildet: 1 = 1; 1 + 2 = 3; 1 + 2 + 3 = 6. Durch Zeichnen ist ihm die Treppenform aufgefallen.

				...
1+2	1+2+3	1+2+3+4	1+2+3+4+5	...

Durch zusammenfügen zweier gleicher Treppen bekam Gauß ein Rechteck, das folgende Form hatte: $n\cdot (n+1)$ .

Da die Summe aber nur ein halbes Rechteck sein konnte, musste er erst das Ergebnis durch zwei teilen: $\sum_{i=1}^n i = \frac{n\cdot (n+1)}{2}$

[Bearbeiten] Die Definition der Dreieckszahl

Die n-te Dreieckszahl ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen: $a_n = \sum_{i=1}^n i = 1 + 2 + 3 + ... + n$ . Sie lässt sich über folgende Polynomfunktion berechen, die gleichzeitig auch einem Binomialkoeffizienten entspricht: $a_n = \frac {n (n+1)}{2} = {n+1 \choose 2}$ .

Die Folge der Dreieckszahlen beginnt: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, ... (Folge A000217 in OEIS)

[Bearbeiten] Eigenschaften der Dreieckszahlen

Die Summe der Kehrwerte aller Dreieckszahlen ist 2: $\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{2}{i\cdot (i+1)} = 2$

Bei allen Dreieckszahlen > 3 handelt es sich um zusammengesetzte Zahlen.

Die Summe zweier aufeinander folgender Dreieckszahlen ergibt eine Quadratzahl

Dies lässt sich auf wenigstens zweierlei Arten zeigen, nämlich auf die graphische Weise und durch Umformungen der Formel.

Die graphische Lösung:

Wie man sehen kann, passen die beiden Dreieckszahlen wie Schlüssel und Schloss ineinander. Das alleine ist aber noch kein Beweis, dass die Summe zweier beliebiger aufeinanderfolgender Dreieckszahlen immer eine Quadratzahl bilden. Eine Dreieckszahl $\frac{n\cdot (n+1)}{2}$ lässt sich als Summe von $n\$ und der vorhergehenden Dreieckszahl $\frac{(n-1)\cdot n}{2}$ darstellen: . Dementsprechend gilt $2\cdot \frac{(n-1)\cdot n}{2} + n = (n-1)\cdot n + n = n^2 - n + n = n^2$
Durch Umformung der Summe der aufeinander folgenden Dreieckszahlen kommt man auch auf $n^2\$ :

$\frac{(n-1)\cdot n}{2} + \frac{n\cdot (n+1)}{2} = \frac{n\cdot (n-1 + n+1)}{2} = \frac{n\cdot (2n)}{2} = \frac{2n^2}{2} = n^2$

Die Summe der ersten n Kubikzahlen ist gleich dem Quadrat der n-ten Dreieckszahl [Bsp.: 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10²]
Die Differenz der Quadrate zweier aufeinander folgender Dreieckszahlen ergibt eine Kubikzahl.

Dies lässt sich aus der darüber gehenden Eigenschaft ableiten. Wenn das Quadrat der n-ten Dreieckszahl aus der Summe der ersten n Kubikzahlen gebildet wird, und das Quadrat der (n+1)-ten Dreieckszahl aus der Summe der ersten n+1 Kubikzahlen gebildet wird, muss als Differenz die (n+1)-te Kubikzahl herauskommen.

Das Vierfache einer Dreieckszahl addiert mit 1 ergibt immer eine zentrierte Quadratzahl:

Das Sechsfache einer Dreieckszahl addiert mit 1 ergibt immer eine zentrierte Sechseckszahl

Das Achtfache einer Dreieckszahl addiert mit 1 ergibt immer eine ungerade Quadratzahl:


6	10

Jede gerade vollkommene Zahl ist auch eine Dreieckszahl:

Nach Leonhard Euler lässt sich eine gerade vollkommene Zahl durch die Formel $(2^n-1)\cdot 2^{n-1}$ darstellen, wobei $2^n-1\$ eine Primzahl sein muss. Wenn man die Formel $(2^n-1)\cdot 2^{n-1}$ mit 2 multiplikativ erweitert, und $2^n\$ durch $m\$ substituiert, kommt man auf die Formel, die Dreieckszahlen repräsentiert:

$(2^n-1)\cdot 2^{n-1} = \frac{(2^n-1)\cdot 2^{n-1}\cdot 2}{2} = \frac{(2^n-1)\cdot 2^n}{2} = \frac{(m-1)\cdot m}{2}$

[Bearbeiten] Quadratzahlen unter den Dreieckszahlen

Damit eine Dreieckszahl eine Quadratzahl sein kann, muss für diese Zahl $a_n = \frac{n\cdot (n+1)}{2}$ Folgendes gelten: $n+1\$ muss eine ungerade Quadratzahl sein und $n\$ muss das Doppelte einer geraden Quadratzahl sein.

[Bearbeiten] Überlegung

Angenommen, $n\$ sei das Doppelte einer ungeraden Quadratzahl, und $n+1\$ sei eine gerade Quadratzahl. Das führt zu einem Widerspruch, da das Doppelte irgendeiner Quadratzahl eine gerade Zahl ergibt. Eine gerade Zahl plus eins aber muss eine ungerade Zahl ergeben, was sie nach unserer Überlegung aber nicht tut.

Also muss $n+1\$ eine ungerade Quadratzahl sein.

[Bearbeiten] Beispiele

$n\$	$n=2\cdot a^2$	$n+1=b^2\$	$\frac{n\cdot (n+1)}{2}=a^2\cdot b^2$	$a\cdot b$
$8\$	$2\cdot 2^2$	$3^2\$	$36=2^2\cdot 3^2$	$6=2\cdot 3$
$288\$	$2\cdot 12^2$	$17^2\$	$41616=12^2\cdot 17^2$	$204=12\cdot 17$
$9800\$	$2\cdot 70^2$	$99^2\$	$48024900=70^2\cdot 99^2$	$6930=70\cdot 99$
$332928\$	$2\cdot 408^2$	$577^2\$	$55420693056=408^2\cdot 577^2$	$235416=408\cdot 577$

[Bearbeiten] Zahlenpalindrome unter den Dreieckszahlen

Folgende Dreieckszahlen sind Zahlenpalindrome:

     n        (n*(n+1))/2
----------+------------------
        11|                66
     1.111|           617.716
   111.111|     6.172.882.716
1.1111.111|61.728.399.382.716

Von der 1111. und der 111.111. Dreieckszahl hat Charles Trigg herausgefunden, dass es sich um Zahlenpalindrome handelt.

[Bearbeiten] Diverses

Jede Zahl lässt sich als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen ausdrücken. Diese Entdeckung stammt von Carl Friedrich Gauß. Seine vielleicht berühmteste Tagebucheintragung machte er am 10. Juli 1796. Sie lautete:

EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ

55, 5.050, 500.500, 50.005.000, etc. sind Dreieckszahlen

Die Glieder der Folge 3, 10, 21, 36, 55, 78, ... (eine Teilmenge der Dreieckzahlen) lassen sich über die Formel $n * (2 n + 1)$ bilden. (siehe auch Sophie-Germain-Primzahl).
Für die andere Hälfte: 1, 6, 15, 28, 45, 66, ... gilt die Bildungsregel $n * (2 n - 1)$ .

[Bearbeiten] Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen

Bei den Dreieckszahlen handelt es sich um zweidimensionale Gebilde. Das Bildungsgesetz ${n+1 \choose 2} = \frac {n (n+1)}{2}$ lässt sich auf die räumlichen Erweiterungen der Dimension $d\$ verallgemeinern: ${n+d-1 \choose d} = \frac{n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot ...\cdot (n+(d-1))}{d!}$

Alle Zahlen des Pascalschen Dreiecks sind Dreieckszahlen und ihre räumlichen Erweiterungen.

[Bearbeiten] Beispiel

Die räumliche Erweiterung der Dreieckszahl in die dritte Dimension ist die Tetraederzahl. Eingesetzt in die Formel $\frac{n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot ...\cdot (n+(d-1))}{d!}$ ergibt sich:

$a_n = \frac{n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot ...\cdot (n+(3-1))}{3!} = \frac{n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{1\cdot 2\cdot 3} = \frac{n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{6}$