Функция Грина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эта статья содержит фрагменты на иностранном языке.
Вы можете помочь проекту, переведя её до конца.

В математике функция Грина используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Функция Грина линейного оператора $L$ , действующего на обобщённые функции над многообразием $M$ в точке $x 0$ , является решением уравнения $(L f)(x) = δ(x - x 0)$ , где $δ$ — дельта-функция Дирака. Если ядро оператора $L$ нетривиально, тогда функция Грина не единственна. Однако на практике симметрии, граничные условия и дополнительные критерии позволяют выделить единственную функцию Грина. Также следует помнить, что функция Грина не обычная функция, а обобщённая функция.

Функцию Грина можно представить как обратный оператор к $L$ .

Функции Грина также полезны в теории конденсированных сред, где они позволяют разрешить уравнение диффузии, и в квантовой механике, где функция Грина гамильтониана является ключевой концепцией и имеет отношение к плотности состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку математическая структура уравнения диффузии и уравнения Шрёдингера подобны.

Функция Грина названа в честь английского математика Георга Грина (англ. George Green), который первым развил эту теорию в 1830-х гг.

Содержание

1 Основание
2 Применения функции Грина
- 2.1 Исходные данные
- 2.2 Теорема
3 Нахождение функции Грина
- 3.1 Разложение
4 Функция Грина для лапласиана
5 Пример
6 Другие примеры
7 См. также
8 Литература

[править] Основание

Свёртка с функцией Грина даёт решение неоднородного интегро-дифференциального уравнения, более известного как задача Штурма—Лиувилля. Пусть $g$ — функция Грина оператора $L$ , тогда решение $f$ уравнения $L f = h$ задаётся так:

$f(x)=\int{h(s)g(x,\;s)\,ds}$ .

Это можно считать разложением $h$ по базису из дельта-функций Дирака.

[править] Применения функции Грина

Первоначально функцию Грина использовали для решения неоднородных краевых задач. В физике элементарных частиц функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» обозначают корреляционную функцию в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

[править] Исходные данные

Пусть $L$ — оператор Штурма—Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида

$L={d\over dx}\left[p(x){d\over dx}\right]+q(x)$

и пусть $D$ — оператор краевых условий

$Du=\left\{\begin{matrix}\alpha_1 u^\prime(0)+\beta_1 u(0),\\ \alpha_2 u^\prime(l)+\beta_2 u(l).\end{matrix}\right.$

Пусть $f (x)$ — непрерывная функция на промежутке $[0,\;1]$ . Предположим также, что задача

$\begin{matrix}Lu=f, \\ Du=0\end{matrix}$

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

[править] Теорема

Тогда существует единственное решение $u (x)$ , удовлетворяющее системе

$\begin{matrix}Lu=f,\\ Du=0,\end{matrix}$

которое задаётся выражением

$u(x)=\int\limits_0^l f(s)g(x,\;s)\,ds$ ,

где $g(x,\;s)$ — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям:

$g(x,\;s)$ непрерывна по $x$ и $s$ .
Для $x\ne s$ , $Lg(x,\;s)=0$ .
Для $s\ne 0,\;l$ , $Dg(x,\;s)=0$ .
Скачок производной: $g^\prime(s_{+0},\;s)-g^\prime(s_{-0},\; s)=1/p(s)$ .
Симметрична: $g(x,\;s)=g(s,\;x)$ .

[править] Нахождение функции Грина

[править] Разложение

Если множество собственных векторов дифференциального оператора $L Ψ n (x)$ (то есть набор функций $Ψ n (x)$ и скаляров $λ n$ таких, что $L Ψ n = λ n Ψ n$ ) полно, тогда мы можем построить функцию Грина из собственных векторов и собственных значений.

Под полнотой подразумевается выполнение соотношения полноты для набора $Ψ n (x)$ :

$\delta(x-x^\prime)=\sum_{n=0}^\infty\Psi_n(x)\Psi_n(x^\prime)$ .

Можно показать, что

$G(x,\;x^\prime)=\sum_{n=0}^\infty\frac{\Psi_n(x)\Psi_n(x^\prime)}{\lambda_n}$ .

Действительно, подействовав оператором $L$ на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

[править] Функция Грина для лапласиана

Green's functions for linear differential operators involving the Laplacian may be readily put to use using the second of Green's identities.

To derive Green's theorem, begin with the divergence theorem (otherwise known as Gauss' law):

$\int\limits_V\nabla\cdot\hat A\ dV=\int\limits_S\hat A\cdot d\hat\sigma$ .

Let $A=\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi$ and substitute into Gauss' law. Compute $\nabla\cdot\hat A$ and apply the chain rule for the $\nabla$ operator:

$\nabla\cdot\hat A=\nabla\cdot(\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)=$

$=(\nabla\varphi)\cdot(\nabla\psi)+\varphi\nabla^2\psi-(\nabla\varphi)\cdot(\nabla\psi)-\psi\nabla^2\varphi=\varphi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\varphi$ .

Plugging this into the divergence theorem, we arrive at Green's theorem:

$\int\limits_V\varphi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\varphi\ dV=\int\limits_S\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi\cdot d\hat\sigma$ .

Suppose that our linear differential operator $L$ is the Laplacian, $\nabla^2$ , and that we have a Green's function $G$ for the Laplacian. The defining property of the Green's function still holds:

$LG(x,\;x^\prime)=\nabla^2G(x,\;x^\prime)=\delta(x-x^\prime)$ .

Let $ψ = G$ in Green's theorem. We get:

$\int\limits_V\varphi(x^\prime)\delta(x-x^\prime)-G(x,\;x^\prime)\nabla^2\varphi(x^\prime)\ d^3x^\prime=$

$=\int\limits_S\varphi(x^\prime)\nabla^\prime G(x,\;x^\prime)-G(x,\;x^\prime)\nabla^\prime\varphi(x^\prime)\cdot d\hat\sigma^\prime$ .

Using this expression, we can solve the Laplace equation ( $\nabla^2\varphi(x)=0$ ) or Poisson equation (( $\nabla^2\varphi(x)=-4\pi\rho(x)$ ) subject to either Neumann or Dirichlet boundary conditions. In other words, we can solve for $\varphi(x)$ everywhere inside a volume where either (1) the value of $\varphi(x)$ is specified on the bounding surface of the volume (Dirichlet boundary conditions), or (2) the normal derivative of $\varphi(x)$ is specified on the bounding surface.

Suppose we're interested in solving for $\varphi(x)$ inside the region. Then the integral $\int\limits_V\varphi(x^\prime)\delta(x-x^\prime)\ d^3x^\prime$ reduces to simply $\varphi(x)$ due to the defining property of the Dirac delta-function and we have:

$\varphi(x)=\int\limits_V G(x,\;x^\prime)\rho(x^\prime)\ d^3x^\prime+\int\limits_S\varphi(x^\prime)\nabla^\prime G(x,\;x^\prime)-G(x,\;x^\prime)\nabla^\prime\varphi(x^\prime)\cdot d\hat\sigma^\prime$ .

This form expresses the well-known property of harmonic functions, that if the value or normal derivative is known on a bounding surface, then the value of the function inside the volume is known everywhere.

In electrostatics, we interpret $\varphi(x)$ as the electric potential, $ρ(x)$ as electric charge density, and the normal derivative $\nabla\varphi(x^\prime)\cdot d\hat\sigma^\prime$ as the normal component of the electric field.

If we're interested in solving a Dirichlet boundary value problem, we choose our Green's function such that $G(x,\;x^\prime)$ vanishes when either $x$ or $x^\prime$ is on the bounding surface; conversely, if we're interested in solving a Neumann boundary value problem, we choose our Green's function such that its normal derivative vanishes on the bounding surface. Thus we are left with only one of the two terms in the surface integral.

With no boundary conditions, the Green's function for the Laplacian is:

$G(\hat x,\;\hat x^\prime)=\frac{1}{\left|\hat x-\hat x^\prime\right|}$ .

Supposing that our bounding surface goes out to infinity, and plugging in this expression for the Green's function, we arrive at the familiar expression for electric potential in terms of electric charge density:

$\varphi(x)=\int\limits_V\frac{\rho(x^\prime)}{\left|\hat x-\hat x^\prime\right|}\ d^3x^\prime$ .

[править] Пример

Дана задача

$\begin{matrix}Lu\end{matrix}=u^{\prime\prime}+u=f(x)$ ;

$Du=u(0)=0,\quad u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ .

Найти функцию Грина.

Первый шаг: Из 2-го условия мы видим, что

$g(x,\;s)=c_1(s)\cdot\cos x+c_2(s)\cdot\sin x$ .

Для $x < s$ из 3-го условия $c 1 (s) = 0$ , в то же время для $x > s$ выполняется $c 2 (s) = 0$ .

В итоге:

$g(x,\;s)=\left\{\begin{matrix} a(s)\sin x,\;\;x<s \\ b(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}\right.$

Второй шаг:

Нужно определить $a (s)$ и $b (s)$ .

По 1-му условию

a (s)sin s = b (s)cos s

Используя 4-ое условие, получим:

$b(s)\cdot[-\sin s]-a(s)\cdot\cos s=\frac{1}{1}$ .

Используя правило Крамера или просто угадывая решение для $a (s)$ и $b (s)$ , получим, что

$a(s)=-\cos s;\quad b(s)=-\sin s$ .

Эти выражения удовлетворяют условию 5.

Тогда функция Грина задачи:

$g(x,\;s)=\left\{\begin{matrix} -1\cdot\cos s\cdot\sin x,\;\;x<s \\ -1\cdot\sin s\cdot\cos x,\;\;s<x \end{matrix}\right.$

[править] Другие примеры

Пусть дано многообразие $\mathbb R$ и оператор $L$ равен $d / d x$ . Тогда функция Хевисайда $H (x - x 0)$ является функцией Грина для $L$ при $x 0$ .
Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости ${ (x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0}$ и $L$ — оператор Лапласа. Также предположим, что при $x = 0$ наложены краевые условия Дирихле, при $y = 0$ — краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид

$G(x,\;y,\;x_0,\;y_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y-y_0)^2}\right]+$

$+\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y+y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y+y_0)^2}\right].$

[править] См. также

Дифференциальный оператор
Линейное дифференциальное уравнение

[править] Литература

Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (5-ая глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.)
A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Это незавершённая статья по математике.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Категории: Википедия:Незавершённый перевод | Незавершённые статьи по математике | Дифференциальные уравнения | Функции | Математический анализ

Функция Грина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Основание

[править] Применения функции Грина

[править] Исходные данные

[править] Теорема

[править] Нахождение функции Грина

[править] Разложение

[править] Функция Грина для лапласиана

[править] Пример

[править] Другие примеры

[править] См. также

[править] Литература

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках