Möbiusova funkcija
Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Möbiusova funkcija je v matematiki pomembna multiplikativna funkcija, ki se največ uporablja v teoriji števil in kombinatoriki, ter tudi pri nekaterih problemih teorije grafov.
Funcijo je leta 1831 vpeljal nemški matematik in astronom August Ferdinand Möbius.
[uredi] Opredelitev
Möbiusova funkcija, po navadi označena z μ(n), je določena za vsa pozitivna naravna števila. Lahko zavzema tri različne vrednosti {-1, 0, 1}, kar je odvisno od praštevilskega razcepa danega števila n. Določena je z:
Zgoraj je p praštevilo, pri μ(n) ≠ 0, je n deljivo brez kvadrata, drugače pa je deljivo s kvadratom. Vrednost μ(0) je v splošnem nedoločena. Če je za dano celo število n vrednost Möbiusove funkcije enaka 1, ima n sodo število različnih prafaktorjev. Če je enaka -1 ima n liho število različnih prafaktorjev.
Za vsa klinasta števila je Möbiusova funkcija enaka -1. Enaka je -1 tudi za vsa praštevila, obratno pa ne velja.
Prve vrednosti Möbiusove funkcije so (OEIS A008683) (n ≥ 1):
- 1,-1,-1,0,-1,1,-1,0,0,1,-1,0,-1,1,1,0,-1,0,-1,0,1,1,-1,0,0,...
[uredi] Lastnosti in uporabe
Möbiusova funkcija nastopa v Möbiusovi inverzni enačbi.
Uporaba Möbiusove funkcije v kombinatoriki je povezana s Polyajevim izrekom pri kombinatoričnih grupah in kombinatoričnem preštevanju.
V teoriji števil je pomembna vsota, ki ji rečemo tudi Mertensova funkcija:
Ta funkcija je v tesni zvezi z lego ničel Euler-Riemannove funkcije ζ. Zvezo med obnašanjem funkcije M(n) in Riemannovo domnevo je poznal že Stieltjes (glej Mertensova domneva).
Inverz funkcije zeta lahko izrazimo s pomočjo Möbiusove funkcije μ(n):
za vsako kompleksno število s z realnim delom > 1. To dejstvo skupaj z vrednostjo funkcije ζ(2) lahko uporabimo za dokaz, da je verjetnost, da sta si dve naključno izbrani celi števili tuji enaka 6/π2.
