Teorija števil

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Teoríja števíl je običajno tista veja matematike, ki raziskuje lastnosti celih števil. Še splošneje, upošteva širši razred problemov, ki jih »lažje razumejo nestrokovnjaki«. Takšen pogled se je razširil ker se v teoriji števil uporabljajo postopki, ki rešujejo več raznolikih problemov. Teorijo števil lahko naprej razdelimo na več področij glede na uporabljene postopke in vprašanja, ki jih izsleduje.

Osnovna ali elementarna teorija števil raziskuje cela števila brez postopkov drugih matematičnih področij. Nastopajo vprašanja o deljivosti, Evklidov algoritem za izračun največjega skupnega delitelja, razcepitev celih števil na prafaktorje, raziskovanje popolnih števil in kongruence. Značilne navedbe so Fermatov mali izrek in Eulerjev izrek, ki ga razširi, kitajski izrek ostankov in zakon kvadratne obratne vrednosti. Raziskujejo se lastnosti multiplikativnih funkcij kot sta Möbiusova funkcija μ in Eulerjeva funkcija φ, celoštevilskih zaporedij kot so fakultete in Fibonaccijeva števila.

Veliko vprašanj v osnovni teoriji števil je izjemno globokih in zahtevajo popolnoma nove pristope. Primeri so:

Goldbachova domneva o sodih številih kot vsoti dveh praštevil.
Catalanova domneva o zaporednih celoštevilskih potencah,
domneva o praštevilskih dvojčkih o neskončnem številu praštevilskih dvojčkov,
Collatzova domneva o preprosti iteraciji.

Teorija diofantskih enačb se je izkazala za neodločljivo (glej 10. Hilbertov problem).

Analitična teorija števil za reševanje vprašanj o celih številih uporablja orodja iz kompleksne analize. Primera sta praštevilski izrek in z njim povezana Riemannova domneva. Z analitičnimi metodami so reševali tudi Waringov problem (predstavitev danega celega števila kot vsote kvadratov, kubov, itd), domnevo praštevilskih dvojčkov (iskanje neskončnega števila parov praštevil z razliko 2) in Goldbachovo domnevo (zapis sodih števil kot vsote dveh praštevil). Tudi dokazi o transcendentnosti matematičnih konstant kot sta π ali e spadajo v analitično teorijo števil. Omenimo, da so se te raziskave transcendentnih števil vidno oddaljile od preprostih študij celih števil...

Algebrska teorija števil razširi pojem števila na algebrska števila, ki so koreni polinomov z racionalnimi koeficienti. Na teh področjih nastopajo elementi, podobni celim številom, algebrska cela števila. V tem okviru znane značilnosti celih števil (na primer enolična razcepitev) nujno ne veljajo. Prednosti novih orodij kot so Galoisova teorija, kohomologija polja, teorija razrednega polja, reprezentacija grup in L-funkcije omogočajo ponovno vzpostavitev reda delno za ta nov razred števil.

Veliko teoretičnih vprašanj teorije števil lahko najuspešneje rešimo z raziskovanjem modula p za vsa praštevila p (glej končna polja). To se imenuje lokalizacija in vodi v konstrukcijo p-števil. To področje raziskovanja se imenuje lokalna analiza in izhaja iz algebrajske teorije števil.

Geometrična teorija števil vključuje vse oblike geometrije. Izhaja iz Minkovskega izreka o točkah rešetke v konveksnih množicah in z raziskovanji ovijanj krogle. Pojavi se tudi algebrska geometrija, še posebej teorija eliptičnih krivulj. S temi metodami so dokazali znameniti Fermatov veliki izrek.

Verjetnostna teorija števil

...

Računska teorija števil končno raziskuje algoritme, ustrezne teoriji števil. Hitri algoritmi kot sta preskus praštevilskosti in celoštevilska razcepitev so zelo pomembni pri uporabi v tajnopisju.

[uredi] Zgodovina teorije števil

Začetke teorije števil lahko zasledimo že v tretjem tisočletju pr. n. št. Tedaj so Sumerci in Babilonci raziskovali lastnosti deljivosti števila 60 in njegovih potenc. Ta števila so bila še posebno zanimiva, ker so tedaj računali v šestdesetiškem sistemu. Na tem še danes počiva naše merjenje kotov in časa.

Pri arheoloških raziskavah so našli tablice pitagorejskih trojic, kjer so števila sestavljena iz praštevil 2, 3 in 5 (delitelji števila 60). Ohranila so se tudi vprašanja teorije števil, ki izvirajo iz Indije in Kitajske v času okoli 1000 let pr. n. št.

V kulturnem krogu starih Grkov so tudi raziskovali probleme iz teorije števil. Učenci Pitagore (»pitagorejci«) so preučevali praštevila, določali razcep na prafaktorje in razvili postopke določanja največjega skupnega delitelja in najmanjšega skupnega večkratnika dveh števil. Prvo celovito delo o matematiki iz tistih časov je napisal Evklid. Vsebuje dokaz enoličnosti razcepa naravnih števil na prafaktorje, dokaz obstoja neskončno mnogo praštevil in pravilo, po katerem dobimo popolna števila (vsota deliteljev). Okoli leta 230 pr. n. št. je Eratosten odkril po njem imenovano metodo iskanja praštevil (Eratostenovo sito). Od Diofanta izhaja ukvarjanje z enačbami s celoštevilskimi koeficienti (diofantske enačbe).

Vse do srednjega veka se je znanje starih Grkov ohranjalo v arabskem kulturnem krogu. Predvsem moramo omeniti Tabit ibn Kora (826-901). Ukvarjal se je s prijateljskimi števili in prvi prevajal dela pomembnih grških filozofov in matematikov v arabščino.

Za utemeljitelja sodobne teorije števil velja Pierre de Fermat. Raziskoval je vsote deliteljev, konstruiral praštevila, popolna in prijateljska števila. Po njem se imenujeta dva pomembna izreka, Fermatov mali in veliki izrek ter Fermatova domneva. Razvoje števil v verižne ulomke sta raziskovala Christiaan Huygens in Gottfried Wilhelm Leibniz. Pomembne prispevke teoriji števil je ustvaril Leonhard Euler (posplošitev Fermatovega izreka, razvoji v verižne ulornke, popolna števila). V začetku 19. stoletja je Carl Friedrich Gauss ustvaril pomembne dosežke v teoriji števil. Vpeljal je pojem kongruence s pripadajočim računanjem, ukvarjal se je s teorijo kvadratnih ostankov in postavil osnove analitične in algebrske teorije števil. Od njega izhaja oznaka »kraljica matematike« za teorijo števil. Gauss je vpeljal oznake: