Бінарна операція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

В математиці БІНА́РНА ОПЕРА́ЦІЯ або бінарний оператор - це математичний об'єкт, що складається з двох величин і певної дії над ними. Бінарну операцію також називають двоелементною або двомістною операцією.

[ред.] Приклади бінарних операцій

• арифметичні дії з числами: додавання, віднімання, множення, ділення
• композиція функцій
• додавання, множення матриць

[ред.] Точніше означення

Бінарною операцією на множині S є бінарне відображення з S і S в S, інакше - відображення f з Декартового добутку S × S в S.

Бінарні операції є наріжним каменем алгебраїчних структур, що їх вивчають в абстрактній алгебрі. Бінарні операції входять в означення таких структур, як групи, моноїди, напівгрупи, кільця тощо.

Загальніше, магма є множиною з довільною бінарною операцією на ній.

Багато бінарних операцій, що становлять інтерес, є комутативними чи асоціативними. Багато з них також мають нейтральний елемент та обернені елементи. Типовими прикладами таких бінарних операцій є додавання (+) і множення (*) чисел та матриць, а також композиція функцій на одній множині.

Приклади некомутативних бінарних операцій є віднімання (-), ділення (/), піднесення до степеня (^).

Бінарні операції часто записують за допомогою інфікса, наприклад, a * b, a + b, or a • b, замість функціонального запису f(a,b). Іноді елементи просто пишуть одне за одним без інфікса: ab.

[ред.] Зовнішні бінарні операції

Зобнішня бінарна операція - це бінарна операція з K і S в S. Вона відрізняється від бінарної операції в точному сенсі тим, що K не обов'язково є S, її елементи беруться "зовні".

Прикладом зовнішньої бінарної операції є множення на скаляр в лінійній алгебрі. В цьому випадку K є полем, а S - векторним простором над цим полем.

Зовнішню бінарну операцію можна з іншого боку розглядати як групову дію: K діє на S.