對稱矩陣
维基百科，自由的百科全书
在線性代數中，對稱矩陣是一個方形矩陣，其轉置矩陣和自身相等。
對稱矩陣中的右上至左下方向元素以主對角線（左上至右下）為軸進行對稱。若將其寫作A = (aij)，則︰
當 i 和 j 對等時。下列是 3×3 的對稱矩陣︰
下列是斜對稱矩陣︰
[编辑] 例子
[编辑] 特性
- 對於任何方形矩陣X，X + XT是對稱矩陣。
- A為方形矩陣是A為對稱矩陣的必要條件。
- 對角矩陣都是對稱矩陣。
- 兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣，若且唯若兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換若且唯若兩者的特徵空間相同。
- 用<,>表示Rn上的內積。
的實矩陣A是對稱的，若且唯若對於所有
，
。 - 任何方形矩陣X，如果它的元素屬於一個特徵值不為2的域（例如實數），可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和：X = 1 / 2(X + XT) + 1 / 2(X − XT)
- 每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個複方形矩陣都可寫作兩個複對稱矩陣的積。
- 若對稱矩陣A的每個元素均為實數，A是Hermite矩陣。
- 一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。
- 如果X是對稱矩陣, 那么 AXAT 也是對稱矩陣.
