实数

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数学上，实数直观地定义为和数线上的点一一对应的数。本來實數只喚作數，後來引入了虚数概念，原本的數稱作“實數”——意義是“實在的數”。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母 R 或 $\Bbb{R}$ 表示。而 Rⁿ 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。

实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

[编辑] 历史

埃及人早在大约公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发明了负数，据说中国也曾发明负数，但稍晚于印度。

直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

[编辑] 定义

[编辑] 從有理數构造實數

实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。實數可以不同方式從有理數构造出來。这里给出其中一种，其他方法请詳見實數的构造。

[编辑] 公理的方法

设 R 是所有实数的集合，则：

集合 R 是一个域：可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。
域 R 是个有序域，即存在全序关系 ≥ ，对所有实数 x, y 和 z：
- 若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z；
- 若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。
集合 R 满足戴德金完备性，即任意 R 的非空子集 S ( $S \in R, S\ne\emptyset$ )，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。

最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在有理数上确界（因为 $\sqrt2$ 不是有理数）。

實數通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个戴德金完备的有序域 R₁ 和 R₂，存在从 R₁ 到 R₂ 的唯一的域同構，即代數學上兩者可看作是相同的。

[编辑] 例子

15 (整数)
2.121 (有限小数)
1.3333333... (无限循环小数)
π = 3.1415926... (无限不循环小数)
$\sqrt3$ (无理数)
$\frac1 3$ (分数)

[编辑] 性质

[编辑] 基本运算

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等，对非负数还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

[编辑] 完備性

作为度量空間或一致空間，實數集合是个完备空间，它有以下性质：

所有實數的柯西序列都有一個實數極限。

有理數集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數的柯西序列，但沒有有理數極限。实际上，它有個實數極限 $\sqrt 2$ 。實數是有理數的完备化——這亦是构造實數集合的一种方法。

極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於欧几里德几何的直線沒有“空隙”。

[编辑] “完备的有序域”

实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。

首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z，z + 1 将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。

另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。

这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。

“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。这样 R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

[编辑] 高级性质

实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为 2^ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。

实数集构成了一个度量空间：x 和 y 间的距离定义为绝对值 |x - y|。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑是一样的。实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。

所有非负实数的平方根属于 R，但这对负数不成立。这表明 R 上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。这两个性质使 R成为实闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。

实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。

实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于 R，但也同样满足和 R 一样的一阶逻辑命题。满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在 R 中证明要简单一些），从而确定这些命题在 R 中也成立。

[编辑] 扩展与一般化

实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：

最自然的扩展可能就是复数了。复数集包含了所有多项式的根。但是，复数集不是一个有序域。

实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。

有时候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入实数集，构成扩展的实数轴。它是一个紧致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。

希尔伯特空间的自伴随算子在许多方面一般化实数集：它们可以是有序的（尽管不一定全序）、完备的；它们所有的特征值都是实数；它们构成一个实结合代数。

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