笛卡尔积
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在数学中，两个集合 X 和 Y 的笛卡尔积(或直积)，表示为 X × Y，是其第一个构件是 X 的成员而第二个构件是 Y 的一个成员的所有可能的有序对:
。
具体的说，如果集合 X 是 13 个元素的点数集合 { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } 而集合 Y 是 4 个元素的花色集合 {♠, ♥, ♦, ♣}，则这两个集合的笛卡尔积是 52 个元素的标准扑克牌的集合 { (A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣) }。
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[编辑] 笛卡尔积的性质
易见笛卡尔积满足下列性质：
时，
时，
[编辑] 笛卡尔平方和 n-元乘积
集合 X 的笛卡尔平方(或二元笛卡尔积)是笛卡尔积 X × X。一个例子是二维平面 R × R，这里 R 是实数的集合 - 所有的点 (x,y)，这里的 x 和 y 是实数(参见笛卡尔坐标系)。
可以推广出在 n 个集合 X1, ..., Xn 上的 n-元笛卡尔积:
。
实际上，它可以被认同为 (X1 × ... × Xn-1) × Xn。它也是 n-元组的集合。
一个例子是欧几里德三维空间 R × R × R，这里的 R 再次是实数的集合。
为了辅助它的计算，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素形成有序对作为表的单元格。
[编辑] 无穷乘积
上述定义对最常用的数学应用而言通常就是所需要的全部。但是有可能在任意(可能无限)的集合的搜集上定义笛卡尔积。如果 I 是任何索引(标定)集合，而
是由 I 索引的集合的搜集，则我们定义
，
就是定义在索引集合上的所有函数的集合，使得这些函数在特定索引 i 上的值是 Xi 的元素。
对在 I 中每个 j，定义自
的函数
叫做第 j 投影映射。
n-元组可以被看作在 {1, 2, ..., n} 上的函数，它在 i 上的值是这个元组的第 i 个元素。所以，在 I 是 {1, 2, ..., n} 的时候这个定义一致于对有限情况的定义。在无限情况下这个定义是家族。
特别熟悉的一个无限情况是在索引集合是自然数的集合 
的时候: 这正是其中第 i 项对应于集合 Xi 的所有无限序列的集合。再次，
提供了这样的一个例子:
是实数的无限序列的搜集，并且很容易可视化为带有有限数目构件的向量或元组。另一个特殊情况(上述例子也满足它)是在乘积涉及因子 Xi 都是相同的时候，类似于“笛卡尔指数”。则在定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从 I 到 X 的所有函数的集合。
此外，无限笛卡尔积更少直觉性，尽管有应用于高级数学的价值。
[编辑] 函数的笛卡尔积
如果 f 是从 A 到 B 的函数而 g 是从 X 到 Y 的函数，则它们的笛卡尔积 f×g 是从 A×X 到 B×Y 的函数，带有
上述可以被扩展到函数的元组和无限搜集。
