Álxebra de Boole

De Uiquipedia

En matemátiques ya informática, l' Álxebra de Boole, o Retícules booleanes, son estructures alxebraiques que "capturen la esencia" de les operaciones lóxiques Y, O y NON, así comu'l conxuntu d'operaciones unión, interseición y complementu.

Nómase así n'honor a George Boole, matemáticu inglés que foi'l primeru'n definila comu parte d'un sistema lóxicu metanes el sieglu XIX. Foi un intentu d'emplegar les téuniques alxebraiques pa tratar espresiones de la lóxica proposicional. Anguañu l'alxebra de Boole emplégase'n diseñu de circuitos eleutrónicos. Aplicóse por cabera vegada'n circuitos de conmutación eléutrica biestables en trabayos de Claude Shannon en 1938.

Los operadores del álxebra de Boole puen representase de delles maneres. Munches vegáes represéntense cenciellamente comu AND (Y), OR (O) y NOT (NON). N'eleutrónica dixital (ver puerta lóxica)tamién s'empleguen la X-OR (O esclusiva) y les sos negáes NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). En matemátiques suele emplegase + en vede OR y · en vede AND, porque eses operaciones son semeyes a la suma y al productu n'otres estructures alxebraiques, y NOT represéntase comu una llinia o una comilla enriba la espresión que se quier negar (NON A sería Ā o A').

Nesti testu va emplegase la notación común con $\land$ pal operador AND, $\lor$ pal operador OR y ¬ (o ~) pal operador NOT.

[editar] Definición

Un álxebra de Boole ye una retícula (A, $\land$ , $\lor$ ) (considerá como una estructura alxebraica) coles siguientes cuatro propiedaes adicionales:

Acotá inferiormente: Esiste un elementu 0, tal que a $\lor$ 0 = a pa tou a perteneciente a A.
Acotá superiormente: Esiste un elementu 1, tal que a $\land$ 1 = a pa tou a perteneciente a A.
Distributiva: Pa tou a, b, c pertenecientes a A, (a $\lor$ b) $\land$ c = (a $\land$ c) $\lor$ (b $\land$ c).
Con complementu: Pa cualaquier a perteneciente a A esiste un elementu ¬a perteneciente a A tal que a $\lor$ ¬a = 1 ya a $\land$ ¬a = 0.

De esos axiomes dedúzse que'l elementu mínimu 0, el elementu máximu 1, y el complementu ¬a d'un elementu a tan únicamente determinaos.

Comu cualaquier retícula, un Álxebra Booleana A, $\land$ , $\lor$ ) da llugar a un conxuntu parcialmente ordenáu (A, ≤) definiendo

a ≤ b si y sólo si a = a $\land$ b

(que equival a b = a $\lor$ b).

De fechu, pue definise un álxebra de Boole comu una retícula distributiva A, ≤) (considerá comu un conxuntu parcialmente ordenáu) con elementu mínimu 0, elementu máximu 1, na que ca elementu x tien un complementu ¬x tal que

x $\land$ ¬x = 0 and x $\lor$ ¬x = 1

Equí $\land$ y $\lor$ úsense pa denotar el mínimu (interseición) y el máximu (unión) de dos elementos. De nuevo, si esiste el complementu tá únicamente determináu.

[editar] Exemplos

El álxebra de Boole más importante tien namái que dos elementos, 0 y 1, y defínese coles regles

    0  1      0  1
      ----         ----
  0 | 0  1     0 | 0  0
  1 | 1  1     1 | 0  1

Tien aplicaciones na lóxica, onde 0 interprétase comu "falso", 1 comu "braero", $\land$ comu "y", $\lor$ comu "o", y ¬ ye "non". Les espresiones que con variables ya operaores booleanos representen proposiciones, y pue demostrase que dos espresiones son equivalentes emplegando los axiomas nomáos enantes si y sólo si les correspondientes proposiciones son lóxicamente equivalentes.

L'álgebra de Boole de dos elementos tamién s'emplega nel diseñu de circuitos en inxeniería electrónica; equí 0 y 1 representen los dos posibles estaos en circuitos dixitales, típicamente un voltaxe altu y uno baxu.

Los circuitos descríbense con espresiones que caltienen variables, y dos de estes espresiones son iguales si y sólo si los correspondientes circuitos tienen el mismu comportamientu de entrada y salida. Amás, ca posible comportamientu de entrada-salida pue espresase con una espresión booleana.

L'álxebra de Boole de dos elementos tamién ye importante na teoría xeneral de les álxebres de Boole, porque una ecuación que implica varies variables ye braera'n toes les álxebres booleanes si y sólo si ye braera n'un álxebra booleana de dos elementos (lo cual pue verificase siempres col algoritmu de fuerza bruta). Esto pue aplicase pa demostrar que les siguientes leyes (Teoremas del consensu) son válides en toes les álxebres booleanes:

(a $\lor$ b) $\land$ (¬a $\lor$ c) $\land$ (b $\lor$ c) = (a $\lor$ b) $\land$ (¬a $\lor$ c)

(a $\land$ b) $\lor$ (¬a $\land$ c) $\lor$ (b $\land$ c) = (a $\land$ b) $\lor$ (¬a $\land$ c)

El conxuntu de partes d'un conxuntu dáu S forma un álgebra de Boole coles dos operaciones $\lor$ = unión y $\land$ = interseición. L'elementu mínimu 0 ye el conxuntu vacíu y el elementu máximu 1 ye el propiu conxuntu S.

El conxuntu formáu por tos los suconxuntos de S que son finitos o cofinitos ye un álxebra de Boole.

Pa tóu númberu natural n, el conxuntu de tolos sos divisores positivos ye una retícula distributiva si definimos a ≤ b comu a divide a b. Esta retícula ye un álxebra de Boole si y sólo si n ye llibre de cuadraos. L'elementu mínimu 0 de esta álxebra ye el númberu natural 1; l'elementu máximu 1 de esta álxebra booleana 1 ye el númberu natural n.

Otros exemplos d'álxebres de Boole surden de losespacios topolóxicos: si X ye un espaciu topolóxicu, entós la coleición de tolos subespacios de X que son tanto abiertos comu zarráos formen un álxebra booleana coles operaciones $\lor$ = unión y $\land$ = interseición.