พีชคณิตแบบบูล

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ใน คณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ พีชคณิตแบบบูล, พีชคณิตบูลีน หรือ แลตทิซแบบบูล คือ โครงสร้างเชิงพีชคณิตที่รวบรวมแก่นความหมายของการดำเนินการทางตรรกศาสตร์ นั่นคือ AND, OR, และNOT รวมไปถึงการดำเนินการทางเซต นั่นคืออินเตอร์เซกชัน, ยูเนียน และส่วนเติมเต็ม

ชื่อของพีชคณิตนั้น ตั้งตามจอร์จ บูล นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ที่มหาวิทยาลัย College Cork ผู้ที่นิยามพีชคณิตดังกล่าวขึ้นมาเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของระบบทางตรรกศาสตร์ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 19 พีชคณิตแบบบูลนำเทคนิคทางพีชคณิตมาใช้กับนิพจน์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ในปัจจุบันพีชคณิตแบบบูลได้ถูกนำไปประยุกต์อย่างแพร่หลายในการออกแบบทางอิเล็กทรอนิกส์ ผู้ที่นำไปใช้คนแรกคือคลาวด์ อี. แชนนอนในคริสต์ศตวรรษที่ 20

ตัวดำเนินการในพีชคณิตแบบบูลสามารถเขียนได้หลายแบบ โดยมากแล้วเราจะเขียนเป็น AND, OR, และ NOT ในการออกแบบวงจร NAND (NOT AND), NOR (NOT OR) และ XOR (eXclusive OR) ก็มีการใช้ทั่วไป นักคณิตศาสตร์ มักใช้ + สำหรับ OR และ · แทน AND (เนื่องจากตัวดำเนินการเหล่านี้มีลักษณะคล้ายคลึงกับการบวก และการคูณ ในโครงสร้างเชิงพีชคณิตอื่นๆ) และเขียน NOT ด้วยเส้นขีดเหนือนิพจน์ที่ถูกนิเสธ

[แก้] นิยาม

พีชคณิตแบบบูล คือ เซต A ที่ประกอบด้วยการดำเนินการทวิภาค คือ $\land$ (AND) กับ $\lor$ (OR), การดำเนินการเอกภาค คือ $\lnot$ / ~ (NOT) และสมาชิกคือ 0 (FALSE) กับ 1 (TRUE) ซึ่งสำหรับสมาชิก a, b และ c ของเซต A จะมีคุณสมบัติเป็นไปตามสัจพจน์เหล่านี้

$a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c$	$a \land (b \land c) = (a \land b) \land c$	การเปลี่ยนหมู่
$a \lor b = b \lor a$	$a \land b = b \land a$	การสลับที่
$a \lor (a \land b) = a$	$a \land (a \lor b) = a$	absorption
$a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$	$a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$	การแจกแจง
$a \lor \lnot a = 1$	$a \land \lnot a = 0$	ส่วนเติมเต็ม

สำหรับสมาชิก a และ b ใน A มันจะมีเอกลักษณ์ดังต่อไปนี้

$a \lor a = a$	$a \land a = a$	นิจพล (idempotency)
$a \lor 0 = a$	$a \land 1 = a$	มีขอบเขต (boundedness)
$a \lor 1 = 1$	$a \land 0 = 0$	มีขอบเขต (boundedness)
$\lnot 0 = 1$	$\lnot 1 = 0$	0 และ 1 เป็นส่วนเติมเต็มกัน
$\lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b$	$\lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b$	กฎเดอมอร์แกน (de Morgan's laws)
$\lnot \lnot a = a$		อวัตนาการ (involution)

[แก้] ตัวอย่าง

พีชคณิตแบบบูลที่ประกอบด้วยสมาชิก 0 และ 1 จะมีนิยามดังนี้

∧	0	1
0	0	0
1	0	1

∨	0	1
0	0	1
1	1	1

เรานำพีชคณิตแบบบูลไปใช้ในตรรกศาสตร์ได้ โดยตีความให้ 0 หมายถึง เท็จ, 1 หมายถึง จริง, ∧ แทนคำว่า และ, ∨ แทนคำว่า หรือ, และ ¬ แทนคำว่า ไม่

พีชคณิตแบบบูลที่มีสมาชิก 2 ตัวนั้น นำไปใช้ประโยชน์ในการออกแบบวงจรไฟฟ้าในงานวิศวกรรมไฟฟ้าได้ โดย 0 และ 1 แทนสถานะที่แตกต่างกันของบิตในวงจรดิจิทัล นั่นก็คือสถานะศักย์ไฟฟ้าสูงและต่ำ

พีชคณิตแบบบูล เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น
ข้อมูลเกี่ยวกับ พีชคณิตแบบบูล ในภาษาอื่น อาจสามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ด้านซ้ายมือ

ดึงข้อมูลจาก "http://th.wikipedia.org../../../%E0%B8%9E/%E0%B8%B5/%E0%B8%8A/%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%B9%E0%B8%A5.html".

หมวดหมู่: บทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ | พีชคณิตแบบบูล | ทฤษฎีอันดับ

พีชคณิตแบบบูล

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

[แก้] นิยาม

[แก้] ตัวอย่าง

Views

ป้ายบอกทาง

ค้นหา

ภาษาอื่น