Leonhard Euler

De Viquipèdia

Leonhard Euler

Leonhard Euler (15 d'abril de 1707 - 18 de setembre de 1783) fou un matemàtic i físic suís. Està considerat (conjuntament amb Aqruímedes, Gauss i Newton) un dels matemàtics més brillants. Euler fou el primer en utilitzar el terme funció (definit per Leibniz el 1694) per descriure una expressió matemàtica que incloia diferents paràmetres. (ex: y = F(x)). Fou també un dels primers en aplicar càlcul a la física.

Nascut i educat a Suïssa, fou un nen prodigi de les matemàtiques. Treballà com a professor de matemàtiques a Sant Petersburg, posteriorment a Berlín i més tard retornà a Sant Petersburg. Té l'honor de ser el matemàtic més prolífic de tots els temps (la recopilació de la seva obra omple 75 volums). Durant els últims disset anys de la seva vida fou completament cec. Durant aquest període produï aproximadament la meitat de tota la seva obra.

Euler fou una persona profundament religiosa al llarg de la seva vida. No obstant, l'anecdota que generalment s'explica que Euler reptà a Denis Diderot a la cort de Caterina II de Rússia amb la següent expressió: "(a+b)ⁿ/n = x; per tant Deu existeix!" és falsa.

L'asteroide 2002 Euler s'anomena així en honor seu.

[edita] Descobriments

Euler, conjuntament amb Daniel Bernoulli, establí la llei que l'esforç de torsió d'una viga elàstica i prima es proporcional a l'elasticitat del material i al moment d'inèrcia d'una secció transversal sobre un eix a través del centre de gravetat i perpendicular al pla parell.

També deduí les Equacions d'Euler, un conjunt de lleis de moviment en la dinàmica de fluids, directament de les lleis de moviment de Newton. Aquestes equacions són formalment idèntiques a les equacions Navier-Stokes amb viscositat zero i són interessants principalment per a l'estudi de les ones de shock.

Feu importants contribucions també a la teoria de les equacions diferencials. En particular es conegut per la creació d'una sèrie d'aproximacions d'Euler les quals són utilitzades en mecànica computacional. La més famosa d'aquestes aproximacions es coneix amb el nom de Mètode d'Euler.

En el camp de la teoria de nombres, inventà la Funció Phi d'Euler. La funció "Phi" φ(n) d'un mombre positiu n es defineix com el nombre d'enters positius menors o iguals que n i coprimers amb n. Per exemple: φ(8) = 4 ja que els quatre nombres 1, 3, 5 i 7 són comprimers de 8.

En l'anàlisi matemàtic, Euler sintetitzà el càlcul diferencial de Leibniz amb el mètode d'Newton.

El 1735, esdevingué popular en resoldre el problema de Basilea:

$\phi(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$ ,

on $ζ(s)$ és la funció zeta de Riemann.

També mostrà la utilitat, consistència i simplicitat de definir l'exponent d'un nombre imaginari mitjançant la següent formula:

$e^{ix} = \cos( x ) + i\sin( x ) \,$

Aquesta és la formula d'Euler, la qual situa en un rol fonamental la funció exponencial. En essència, totes les funcions elementals són variacions de la funció exponencial o bé són polinomis. La Identitat d'Euler n'és una conseqüència evident:

$e^{i \pi} + 1 = 0 \,$

El 1735, definí la constant Euler-Mascheroni la qual s'utilitza en equacions diferencials:

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} ... + \frac{1}{n} - \log(n) \right)$

És co-descobridor de la formula d'Euler-Maclaurin que és molt utilitzada en el càlcul d'integrals complexes, sumes i sèries.

El 1739 publicà Tentamen novae theoriae musicae i fou un intent de combinar música i matemàtiques. En la seva biografia comenta que l'obra era massa avançada matemàticament per als músics i massa musical per als matemàtics.

En economia, mostrà que si cada factor productiu és pagat a un preu igual al seu producte marginal, llavors (sota la llei de rendiments constants a escala) s'arriba a un equilibri i el mercat es buida.

En geometria i topologia algebraica, hi ha una relació anomenada formula d'Euler que relaciona en nombre de vores, vertexs i cares d'un polidedre conectat simplement. Donat un poliedre, la suma dels verrtexs i les cares és sempre el nombre de vores més dos. ex: F - E + V = 2. Aquest teorema també s'aplica a qualsevol gràfic planar. Per a gràfics no-planars existeix una generalització: si el gràfic pot incloure's en un múltiple M, llavors F - E + V = χ(M), on χ és la característica d'Euler del múltiple, una constant invariable sota continues deformacions. La característica d'Euler d'un múltiple simplement conectat com ara una esfera o un pla és 2. Una generalizació de la dormula d'Euler per a qualsevol gràfic planars és: F - E + V - C = 1, on C és el nombre de components del gràfic.

El 1736 Euler solucionà el problemma conegut com els set ponts de Königsberg, publicant Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis que fou la primera aplicació de la teoria de grafs a la topologia.