Laminární proudění

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Laminární proudění (na obrázku dole) a turbulentní proudění (nahoře) kolem trupu ponorky

Laminární proudění je takové proudění vazké kapaliny, při kterém jsou proudnice rovnoběžné a nemísí se. Částice kapaliny se pohybují vedle sebe jakoby ve vrstvách - „destičkách“ (destička = lat. lamina), které se vzájemně nepromíchávají. Odtud také laminární neboli vrstevnaté proudění. Mezi jednotlivými vrstvami se předpokládá existence vnitřního tření a platnost vztahu Newtonova zákona viskozity.

Laminární proudění je tedy proudění kapaliny s vnitřním třením, které není potenciálové.

Laminární proudění lze použít jako vhodnou aproximaci proudění reálných kapalin při malých rychlostech.

[editovat] Ustálené proudění v úzké trubici

Proudění vazké kapaliny v úzké trubici lze při nízkých rychlostech považovat za laminární.

[editovat] Rychlostní profil

Uvažujme v trubici o poloměru $r$ malý válec kapaliny o poloměru $x$ a délce $Δ l$ . Na vstupní průřez tohoto válce působí tlak $p 1$ a na výstupní průřez tlak $p 2$ . Tlakový rozdíl na délce $Δ l$ má hodnotu $Δ p = p 1 - p 2$ . Tlaková síla, která na válec působí ve směru toku, je

F = π x 2 Δ p

Tato síla odpovídá odporu kapaliny proti proudění. Tento odpor je způsoben vnitřním tření mezi pláštěm válce a kapalinou, která jej obklopuje, přičemž jej lze vyjádřit jako

F t = 2π x Δ l τ

kde $τ$ je tečné napětí.

Při ustáleném proudění musí být $F$ a $F t$ v rovnováze. Z předchozích vztahů tedy dostaneme

$\pi x^2\Delta p = -\pi x\Delta l\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$

Odtud po úpravě a integraci dostaneme pro rychlostní profil (tedy rozložení rychlostí v trubici) výraz

$v = -\frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}x^2 + k$ ,

kde $k$ je integrační konstanta, kterou určíme z podmínky, že na vnitřní straně trubice je rychlost nulová, tzn. $v = 0$ pro $x = r$ . Po dosazení úpravě dostaneme

$v = \frac{1}{4\eta}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}l}(r^2-x^2)$

Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti $v$ na $x$ (tedy na vzdálenosti od středu trubice) parabolická.

[editovat] Hagen-Poiseuilleův zákon

Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat objemový tok $Q v$ . Rychlost $v$ je v určité vzdálenosti $x$ od osy trubice konstantní. Plochou mezikruží ve vzdálenosti $x$ a šířce $d x$ proteče za časovou jednotku kapalina o objemu

$\mathrm{d}Q_v = 2\pi xv\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}(r^2-x^2)x\mathrm{d}x$

Integrací přes celý průřez trubice dostaneme

$Q_v = \frac{\pi r^4}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}$

Tento vztah je matematickým vyjádřením tzv. Hagen-Poiseuilleova zákona, který zní:

Objemový tok viskozní tekutiny při laminárním proudění trubicí kruhového průřezu je přímo úměrný tlakovému spádu $\frac{\Delta p}{\Delta l}$ a čtvrté mocnině poloměru trubice a je nepřímo úměrný dynamické viskozitě $η$ .

[editovat] Maximální a průměrná rychlost proudění

Maximální rychlost, kterou se tekutina při laminárním proudění trubicí pohybuje má hodnotu

$v_\mbox{max} = \frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2$

a nachází se na ose trubice ( $x = 0$ ).

Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového průřezu trubice ( $S = π r 2$ ), tzn.

$v_s = \frac{Q_v}{S} = \frac{1}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2 = \frac{1}{2}v_\mbox{max}$

[editovat] Vlastnosti

Laminární proudění je vírové, neboť část kapaliny, která se nachází mezi dvěma vrstvami s různými rychlostmi má tendenci se otáčet. Vírová vlákna mají tvar soustředných kružnic, jejichž středy leží na ose trubice.

O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro potenciálové proudění po libovolné uzavřené dráze. Zvolme dva body $A, B$ na ose trubice ve vzdálenosti $s$ a dva body $C, D$ na okraji trubice ve stejné vzdálenosti, a to tak, že $D$ se nachází na stejném řezu trubicí jako $A$ a bod $C$ se nachází na stejném řezu jako $B$ . Vzhledem k tomu, že rychlost na okraji trubice je nulová a mezi body $A, D$ a $B, C$ je vektor rychlosti kolmý na dráhu, dostaneme

$\oint v\mathrm{d}s = \int_A^B v\mathrm{d}s = v_\mbox{max}s$

Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že $\operatorname{rot}v$ je různé od nuly. Jednotlivé částice kapaliny mají tedy snahu se otáčet, a proto je proudění vířivé.

Tlakový spád $\frac{\Delta p}{\Delta l}$ je mírou odporu kapaliny proti proudění, tzn.

$F\sim\frac{\Delta p}{\Delta l}\sim v_s$

Při malé rychlosti proudění kapaliny se víry nemohou výrazně rozvinout a proudění probíhá tak, jako by se skládalo z nekonečně tenkých vírových vláken ve tvaru koncentrických kružnic. Při zvýšení rychlosti proudění však víry začnou proudění ovlivňovat výrazně a laminární proudění přejde v proudění turbulentní.

Jako kritérium pro odlišení laminárního proudění od proudění turbulentního lze použít Reynoldsovo číslo.